Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sin^{2} (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \cos (x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \cos (x) \sin (x))$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (\sin (x) (2 \cos (x)))$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

Étape 4.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ à $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sin (2 x)$

Étape 5.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (2 x)$

Étape 5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Étape 5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ et $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.6

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun à $\sin (x)$ et $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 5.7.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 5.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 5.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.8

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.9

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Étape 5.10

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \cot (x)$