Calcul infinitésimal Exemples

${(\tan^{-1} (4 x))}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan^{-1} (4 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan^{-1} (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (4 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (4 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan^{-1} (4 x)$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (4 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan^{-1} (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan^{-1} (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.2

La dérivée de $\tan^{-1} (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{1}{1 + {(4 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $4 (x)$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{1}{1 + 4^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{1}{1 + 16 x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4

Associez $4$ et $\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{4}{1 + 16 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) (\frac{4}{1 + 16 x^{2}} \cdot 1)$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Multipliez $\frac{4}{1 + 16 x^{2}}$ par $1$ .

$2 \tan^{-1} (4 x) \frac{4}{1 + 16 x^{2}}$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \tan^{-1} (4 x) \frac{4}{16 x^{2} + 1}$

Étape 4

Associez des termes.

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Étape 4.1

Associez $\frac{4}{16 x^{2} + 1}$ et $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{16 x^{2} + 1} \tan^{-1} (4 x)$

Étape 4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8}{16 x^{2} + 1} \tan^{-1} (4 x)$

Étape 4.3

Associez $\frac{8}{16 x^{2} + 1}$ et $\tan^{-1} (4 x)$ .

$\frac{8 \tan^{-1} (4 x)}{16 x^{2} + 1}$