Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{3}}{d x^{3}} \sin^{3} (x)$

Étape 1

Cette dérivée n’a pas pu être terminée avec la règle d’enchaînement. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin^{2} (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Étape 3.4

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Étape 3.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 3.4.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$3 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Étape 3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Étape 3.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin^{3} (x)$ .

$3 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Étape 3.5.2

Réécrivez $- 1 \sin^{3} (x)$ comme $- \sin^{3} (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 3.7

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cdot \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x))$

Étape 3.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x))$

Étape 3.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x))$

Étape 3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x))$

Étape 3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Étape 3.13

Simplifiez

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Étape 3.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- \sin^{3} (x)) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Étape 3.13.2

Associez des termes.

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Étape 3.13.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Étape 3.13.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x) + 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Étape 3.13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos^{2} (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 4.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.6

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.6.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 4.2.6.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.6.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.8

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sin^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 \sin^{2} (x) \cos (x))$

Étape 4.3.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 \cos^{3} (x) + 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Étape 4.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$6 \cos^{3} (x) - 12 (\cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Étape 4.4.2.2

Réorganisez les facteurs de $- 12 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos^{3} (x) - 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Étape 4.4.2.3

Soustrayez $9 \sin^{2} (x) \cos (x)$ de $- 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$6 \cos^{3} (x) - 21 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Étape 4.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = - 21 \sin^{2} (x) \cos (x) + 6 \cos^{3} (x)$