Calcul infinitésimal Exemples

$q = \sin (\frac{t}{\sqrt{t + 9}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = \frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sqrt{t + 9}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sqrt{t + 9}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{t}{\sqrt{t + 9}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sqrt{t + 9}}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t + 9}$ comme ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4

Multipliez les exposants dans ${({(t + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 9)}^{1}}$

Étape 5

Simplifiez

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 9}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 9}$

Étape 6.2

Multipliez ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 9}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = t + 9$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t + 9$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t + 9$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Étape 8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Étape 9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Étape 11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Étape 12

Associez les fractions.

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Étape 12.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Étape 12.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Étape 12.3

Placez ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 9])}{t + 9}$

Étape 12.4

Associez $\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $t$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 9]}{t + 9}$

Étape 13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 9$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9])}{t + 9}$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [9])}{t + 9}$

Étape 15

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $9$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 9}$

Étape 16

Simplifiez l’expression.

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Étape 16.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 9}$

Étape 16.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Étape 17

Pour écrire ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Étape 18

Associez ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Étape 19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Étape 20

Multipliez ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 20.1

Déplacez ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2}} {(t + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Étape 20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Étape 20.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Étape 20.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Étape 20.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{{(t + 9)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Étape 21

Simplifiez ${(t + 9)}^{1} \cdot 2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{(t + 9) \cdot 2 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Étape 22

Déplacez $2$ à gauche de $t + 9$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$

Étape 23

Réécrivez $\frac{\frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 9}$ comme un produit.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) (\frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 9})$

Étape 24

Multipliez $\frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{t + 9}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}} (t + 9)}$

Étape 25

Élevez $t + 9$ à la puissance $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 ({(t + 9)}^{1} {(t + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 26

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 27

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 29

Additionnez $2$ et $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 (t + 9) - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 30

Simplifiez

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Étape 30.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 t + 2 \cdot 9 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 30.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 30.2.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{2 t + 18 - t}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 30.2.2

Soustrayez $t$ de $2 t$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) \frac{t + 18}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 31

Associez $\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}})$ et $\frac{t + 18}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 9}}) (t + 18)}{2 {(t + 9)}^{\frac{3}{2}}}$