Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.2.4

Associez $\frac{5}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.2.5.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.3.1

Comme $\frac{7}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{2} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.3.3

Associez $4$ et $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.3.4

Multipliez $4$ par $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.3.5

Associez $\frac{28}{2}$ et $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.3.6

Annulez le facteur commun à $28$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $28 x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.3.6.2.4

Divisez $14 x^{3}$ par $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.4.1

Comme $\frac{71}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{71}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.4.3

Associez $3$ et $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.4.4

Multipliez $3$ par $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.4.5

Associez $\frac{213}{3}$ et $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.4.6

Annulez le facteur commun à $213$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.4.6.1

Factorisez $3$ à partir de $213 x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.4.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.4.6.2.4

Divisez $71 x^{2}$ par $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.5.1

Comme $77$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $77 x^{2}$ par rapport à $x$ est $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez $2$ par $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.1.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.6.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120 x$ par rapport à $x$ est $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Étape 2.1.1.6.3

Multipliez $120$ par $1$ .

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x^{3}$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $14$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [71 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.1

Comme $71$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $71 x^{2}$ par rapport à $x$ est $71 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 (2 x) + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $71$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [154 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.4.1

Comme $154$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $154 x$ par rapport à $x$ est $154 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.1.2.4.3

Multipliez $154$ par $1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.5.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + 0$

Étape 2.1.2.5.2

Additionnez $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $42 x^{2}$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 142 x + 154 = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $142 x$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 154 = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $154$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Étape 2.2.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Étape 2.2.2.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x)$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77) = 0$

Étape 2.2.2.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77)$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2.2.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 77, \pm 38.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 11, \pm 5.5$

Étape 2.2.2.2.1.3

Remplacez $- 3.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 3.5$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.3.1

Remplacez $- 3.5$ dans le polynôme.

$2 {(- 3.5)}^{3} + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Étape 2.2.2.2.1.3.2

Élevez $- 3.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 42.875 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Étape 2.2.2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 42.875$ .

$- 85.75 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Étape 2.2.2.2.1.3.4

Élevez $- 3.5$ à la puissance $2$ .

$- 85.75 + 21 \cdot 12.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Étape 2.2.2.2.1.3.5

Multipliez $21$ par $12.25$ .

$- 85.75 + 257.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Étape 2.2.2.2.1.3.6

Additionnez $- 85.75$ et $257.25$ .

$171.5 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Étape 2.2.2.2.1.3.7

Multipliez $71$ par $- 3.5$ .

$171.5 - 248.5 + 77$

Étape 2.2.2.2.1.3.8

Soustrayez $248.5$ de $171.5$ .

$- 77 + 77$

Étape 2.2.2.2.1.3.9

Additionnez $- 77$ et $77$ .

$0$

Étape 2.2.2.2.1.4

Comme $- 3.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 7$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77}{2 x + 7}$

Étape 2.2.2.2.1.5

Divisez $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ par $2 x + 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$7$

$2 x^{3}$

$21 x^{2}$

$71 x$

$77$

Étape 2.2.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$

Étape 2.2.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			+	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Étape 2.2.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 7 x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Étape 2.2.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$

Étape 2.2.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Étape 2.2.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $14 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Étape 2.2.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$49 x$

Étape 2.2.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $14 x^{2} + 49 x$

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$

Étape 2.2.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$

Étape 2.2.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Étape 2.2.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $22 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Étape 2.2.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							+	$22 x$	+	$77$

Étape 2.2.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $22 x + 77$

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$

Étape 2.2.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$
										$0$

Étape 2.2.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 7 x + 11$

Étape 2.2.2.2.1.6

Écrivez $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ comme un ensemble de facteurs.

$2 ((2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11)) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $2 x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Définissez $2 x + 7$ égal à $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Étape 2.2.4.2

Résolvez $2 x + 7 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 7$

Étape 2.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 7$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 7$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Étape 2.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Étape 2.2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Étape 2.2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7}{2}$

Étape 2.2.5

Définissez $x^{2} + 7 x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Définissez $x^{2} + 7 x + 11$ égal à $0$ .

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Étape 2.2.5.2

Résolvez $x^{2} + 7 x + 11 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 7$ et $c = 11$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.3.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2.3.1.3

Soustrayez $44$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.4.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2.4.1.3

Soustrayez $44$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.2.5.2.4.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.2.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Étape 2.2.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{5})}{2}$

Étape 2.2.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.5.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2.5.1.3

Soustrayez $44$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.2.5.2.5.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.2.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{5})}{2}$

Étape 2.2.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{5})}{2}$

Étape 2.2.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$ vraie.

$x = - \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2}) \cup (- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 7$ dans l’expression.

$f'' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 7) = 4 \cdot - 343 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 343$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 \cdot 49 + 142 (- 7) + 154$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $42$ par $49$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 + 142 (- 7) + 154$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $142$ par $- 7$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 - 994 + 154$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 1372$ et $2058$ .

$f'' (- 7) = 686 - 994 + 154$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $994$ de $686$ .

$f'' (- 7) = - 308 + 154$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $- 308$ et $154$ .

$f'' (- 7) = - 154$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 154$ .

$- 154$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ car $f'' (- 7)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = 4 \cdot - 64 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 42 \cdot 16 + 142 (- 4) + 154$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $42$ par $16$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 672 + 142 (- 4) + 154$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $142$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 672 - 568 + 154$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 256$ et $672$ .

$f'' (- 4) = 416 - 568 + 154$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $568$ de $416$ .

$f'' (- 4) = - 152 + 154$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $- 152$ et $154$ .

$f'' (- 4) = 2$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 3) = 4 \cdot - 27 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Étape 7.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 42 \cdot 9 + 142 (- 3) + 154$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $42$ par $9$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 378 + 142 (- 3) + 154$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $142$ par $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 378 - 426 + 154$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 108$ et $378$ .

$f'' (- 3) = 270 - 426 + 154$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $426$ de $270$ .

$f'' (- 3) = - 156 + 154$

Étape 7.2.2.3

Additionnez $- 156$ et $154$ .

$f'' (- 3) = - 2$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ car $f'' (- 3)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 4 {(0)}^{3} + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 4 \cdot 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Étape 8.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 42 \cdot 0 + 142 (0) + 154$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $42$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 142 (0) + 154$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $142$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 0 + 154$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 154$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 + 154$

Étape 8.2.2.3

Additionnez $0$ et $154$ .

$f'' (0) = 154$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $154$ .

$154$

Étape 8.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 10