Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + 10}{x^{2} - 100}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x + 10}{x^{2} - 100}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x + 10}{x^{2} - 100}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 10$ et $g (x) = x^{2} - 100$ .

$\frac{(x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{(x^{2} - 100) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 100) (1 + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 100) (1 + 0) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 100) \cdot 1 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.4.2

Multipliez $x^{2} - 100$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 100$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100])}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [- 100])}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.7

Comme $- 100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) (2 x)}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 100 - 2 (x + 10) x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 100 + (- 2 x - 2 \cdot 10) x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 100 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 100 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 100 - 2 x^{2} - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $10$ .

$\frac{x^{2} - 100 - 2 x^{2} - 20 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.3.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 100 - 20 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} - 20 x - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1.3.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 100 = 100$ et dont la somme est $b = - 20$ .

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Étape 2.1.1.3.5.1.1

Factorisez $- 20$ à partir de $- 20 x$ .

$\frac{- x^{2} - 20 (x) - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.5.1.2

Réécrivez $- 20$ comme $- 10$ plus $- 10$

$\frac{- x^{2} + (- 10 - 10) x - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 10 x - 10 x - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.1.3.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} - 10 x) - 10 x - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x - 10) + 10 (- x - 10)}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 10$ .

$\frac{(- x - 10) (x + 10)}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.3.6.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{(- x - 10) (x + 10)}{{(x^{2} - 10^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 10$ .

$\frac{(- x - 10) (x + 10)}{{((x + 10) (x - 10))}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.6.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 10) (x - 10)$ .

$\frac{(- x - 10) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.3.7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 10) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.7.2

Réécrivez $- 10$ comme $- 1 (10)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (10)) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (10)$ .

$\frac{- (x + 10) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.7.4

Réécrivez $- (x + 10)$ comme $- 1 (x + 10)$ .

$\frac{- 1 (x + 10) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.7.5

Élevez $x + 10$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 10)}^{1} (x + 10))}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.7.6

Élevez $x + 10$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 10)}^{1} {(x + 10)}^{1})}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.7.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 {(x + 10)}^{1 + 1}}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.7.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 10)}^{2}}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.8

Annulez le facteur commun de ${(x + 10)}^{2}$ .

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Étape 2.1.1.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 {(x + 10)}^{2}}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{{(x - 10)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 10)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{{(x - 10)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 10)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x - 10)}^{2}}$ comme ${({(x - 10)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 10)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 10)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 10)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 10)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x - 10$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 10$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 10$ .

$- (- 2 {(x - 10)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.4

Différenciez.

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Étape 2.1.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 ({(x - 10)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.4.4

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.1.2.4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{{(x - 10)}^{2}}$ par $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} + 0$

Étape 2.1.2.4.7.2

Additionnez $2 {(x - 10)}^{- 3}$ et $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez

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Étape 2.1.2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x - 10)}^{3}}$

Étape 2.1.2.5.2

Associez $2$ et $\frac{1}{{(x - 10)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 10)}^{3}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{{(x - 10)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 10)}^{3}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{{(x - 10)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2}{{(x - 10)}^{3}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 2.2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x + 10}{x^{2} - 100}$ .

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 10}{x^{2} - 100}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 100 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $100$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 100$

Étape 3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{100}$

Étape 3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{100}$ .

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Étape 3.2.3.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

Étape 3.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 10$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 10$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 10$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 10, - 10$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 10) \cup (10, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 10, - 10}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 10) \cup (10, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 10, - 10}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 10) \cup (10, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 10)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 12$ dans l’expression.

$f'' (- 12) = \frac{2}{{((- 12) - 10)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1.1

Soustrayez $10$ de $- 12$ .

$f'' (- 12) = \frac{2}{{(- 22)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 22$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 12) = \frac{2}{- 10648}$

Étape 5.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 10648$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (- 12) = \frac{2 (1)}{- 10648}$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10648$ .

$f'' (- 12) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5324}$

Étape 5.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 12) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5324}$

Étape 5.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 12) = \frac{1}{- 5324}$

Étape 5.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 12) = - \frac{1}{5324}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{5324}$ .

$- \frac{1}{5324}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 10)$ car $f'' (- 12)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 10)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 10, 10)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 10)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Soustrayez $10$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 10)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 10$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1000}$

Étape 6.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 1000$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (0) = \frac{2 (1)}{- 1000}$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 1000$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 500}$

Étape 6.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 500}$

Étape 6.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{1}{- 500}$

Étape 6.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = - \frac{1}{500}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{500}$ .

$- \frac{1}{500}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 10, 10)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 10, 10)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(10, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $12$ dans l’expression.

$f'' (12) = \frac{2}{{((12) - 10)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Soustrayez $10$ de $12$ .

$f'' (12) = \frac{2}{2^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (12) = \frac{2}{8}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (12) = \frac{2 (1)}{8}$

Étape 7.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f'' (12) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (12) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (12) = \frac{1}{4}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(10, \infty)$ car $f'' (12)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(10, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 10)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le bas sur $(- 10, 10)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(10, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9