Calcul infinitésimal Exemples

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.1.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.1.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.1.2.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.1.2.2.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.1.2.2.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.1.2.2.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.1.2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.1.2.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.1.2.2.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.1.2.2.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.1.2.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.1.2.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.1.2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez

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Étape 2.1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Étape 2.1.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Étape 5.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (0) = - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Étape 5.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

Étape 5.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cos (0)$

Étape 5.2.1.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cdot 1$

Étape 5.2.1.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$f'' (0) = - 2 - 2$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$f'' (0) = - 4$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6