Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$

Étape 1

Écrivez $\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2} - x - 6}]$

Étape 2.1.1.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{x^{2} - x - 6}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - x - 6}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - x - 6}]$

Étape 2.1.1.1.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - x - 6}$ comme ${(x^{2} - x - 6)}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{- 1}]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - x - 6$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - x - 6$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Étape 2.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - x - 6$ .

$- 2 (- {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Étape 2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 ({(x^{2} - x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Étape 2.1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.1.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.1.1.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.1.1.3.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 + 0)$

Étape 2.1.1.3.8

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1)$

Étape 2.1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$

Étape 2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.1.5.1

Associez $2$ et $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$

Étape 2.1.1.5.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$ .

$f' (x) = (2 x - 1) \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 x - 1$ et $g (x) = \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$(2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}]$ .

$(2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.2.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $2 x - 1$ .

$2 \cdot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ comme ${({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.2.2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{- 2}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x^{2} - x - 6$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - x - 6$ .

$2 (2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$2 (2 x - 1) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - x - 6$ .

$2 (2 x - 1) (- 2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.4

Différenciez.

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Étape 2.1.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.4.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 + 0)) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.4.8

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1)) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.5

Élevez $2 x - 1$ à la puissance $1$ .

$- 4 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1)) {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.6

Élevez $2 x - 1$ à la puissance $1$ .

$- 4 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1}) {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 {(2 x - 1)}^{1 + 1} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.1.2.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.1.2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.1.2.12

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.1.2.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 + 0)$

Étape 2.1.2.14

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.14.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \cdot 2$

Étape 2.1.2.14.2

Associez $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ et $2$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.14.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.15

Pour écrire $- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \cdot \frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.16

Associez $- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ et $\frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} {(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} {(x^{2} - x - 6)}^{2} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.18

Multipliez ${(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ par ${(x^{2} - x - 6)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.18.1

Déplacez ${(x^{2} - x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} ({(x^{2} - x - 6)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}) + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{2 - 3} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.18.3

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 1} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19

Simplifiez

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Étape 2.1.2.19.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.19.2.1.1

Réécrivez ${(2 x - 1)}^{2}$ comme $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{- 4 ((2 x - 1) (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.2

Développez $(2 x - 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.19.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.19.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.19.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.19.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 4 x + 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.2.19.2.1.5.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{(- 16 x^{2} - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.5.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.6

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.19.2.1.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 2.1.2.19.2.1.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4) \frac{1}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.7

Multipliez $- 16 x^{2} + 16 x - 4$ par $\frac{1}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{\frac{- 16 x^{2} + 16 x - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.19.2.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x^{2} + 16 x - 4$ .

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Étape 2.1.2.19.2.1.8.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.1.2

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.19.2.1.8.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 2.1.2.19.2.1.8.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 (x) - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + (2 + 2) x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 2 x + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.19.2.1.8.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{\frac{4 ((- 4 x^{2} + 2 x) + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{\frac{4 (2 x (- 2 x + 1) - (- 2 x + 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 x + 1$ .

$\frac{\frac{4 ((- 2 x + 1) (2 x - 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

$\frac{\frac{4 (- 2 x + 1) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.3

Associez les exposants.

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Étape 2.1.2.19.2.1.8.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 x) + 1) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 x - 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.3.4

Réécrivez $- (2 x - 1)$ comme $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- 1 (2 x - 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.3.5

Élevez $2 x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.3.6

Élevez $2 x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1})}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{1 + 1}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.8.3.9

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4 \cdot \frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.3

Associez $4$ et $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} + 4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.19.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 {(2 x - 1)}^{2} + 4 (x - 3) (x + 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.19.2.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 {(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 (x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 (x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 ((x - 3) (x + 2))$ .

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2} + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.2

Réécrivez ${(2 x - 1)}^{2}$ comme $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- ((2 x - 1) (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.3

Développez $(2 x - 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.19.2.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.19.2.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.19.2.5.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.19.2.5.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.4.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.4.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 4 x + 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.19.2.5.6.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.6.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.7

Développez $(x - 3) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.19.2.5.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x (x + 2) - 3 (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.19.2.5.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.19.2.5.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.8.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.8.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + 2 x - 3 x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.8.2

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} - x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.9

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 4 x - 1 - x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.10

Soustrayez $x$ de $4 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 3 x - 1 - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.5.11

Soustrayez $6$ de $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 3 x - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2}) + 3 x - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2}) - (- 3 x) - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x) - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.9

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x) - 1 (7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 3 x) - 1 (7)$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x + 7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.11

Réécrivez $- (3 x^{2} - 3 x + 7)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 3 x + 7)$ .

$\frac{\frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 3 x + 7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.3

Associez des termes.

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Étape 2.1.2.19.3.1

Réécrivez $\frac{- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ comme un produit.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.19.3.2

Multipliez $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ par $\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x^{2} - x - 6)}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Étape 2.1.2.19.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.19.4.1

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.19.4.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 2.1.2.19.4.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{((x - 3) (x + 2))}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Étape 2.1.2.19.4.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 3) (x + 2)$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Étape 2.1.2.19.4.3

Associez les exposants.

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Étape 2.1.2.19.4.3.1

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Étape 2.1.2.19.4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{1 + 2} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Étape 2.1.2.19.4.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Étape 2.1.2.19.4.3.4

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{2})}$

Étape 2.1.2.19.4.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{1 + 2}}$

Étape 2.1.2.19.4.3.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.3.1.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 3 x + 7$ par $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 7 = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$3 x^{2} - 3 x + 7 = 0$

Étape 2.2.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.3.3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 3$ et $c = 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.4.1.3

Soustrayez $84$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.4.1.4

Réécrivez $- 75$ comme $- 1 (75)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (75)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.4.1.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.2.3.4.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.4.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.4.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.2.3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Étape 2.2.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.5.1.3

Soustrayez $84$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.5.1.4

Réécrivez $- 75$ comme $- 1 (75)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (75)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.5.1.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.2.3.5.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.5.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.5.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.2.3.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + 5 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.2.3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Étape 2.2.3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.6.1.3

Soustrayez $84$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.6.1.4

Réécrivez $- 75$ comme $- 1 (75)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (75)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.6.1.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.2.3.6.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.6.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.6.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.2.3.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.2.3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + 5 i \sqrt{3}}{6}, \frac{3 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$ .

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Étape 3.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 3.2.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.2.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.2.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 3, - 2$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 2, 3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 2, 3}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = - \frac{4 (3 {(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 + 7)}{{((- 4) - 3)}^{3} {((- 4) + 2)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (3 \cdot 16 - 3 \cdot - 4 + 7)}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (48 - 3 \cdot - 4 + 7)}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (48 + 12 + 7)}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Étape 5.2.1.4

Additionnez $48$ et $12$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (60 + 7)}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Étape 5.2.1.5

Additionnez $60$ et $7$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Soustrayez $3$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{{(- 7)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{{(- 7)}^{3} {(- 2)}^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{- 343 {(- 2)}^{3}}$

Étape 5.2.2.4

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{- 343 \cdot - 8}$

Étape 5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez $4$ par $67$ .

$f'' (- 4) = - \frac{268}{- 343 \cdot - 8}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $- 343$ par $- 8$ .

$f'' (- 4) = - \frac{268}{2744}$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun à $268$ et $2744$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $268$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (67)}{2744}$

Étape 5.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $2744$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{4 \cdot 686}$

Étape 5.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{4 \cdot 686}$

Étape 5.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 4) = - \frac{67}{686}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- \frac{67}{686}$ .

$- \frac{67}{686}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ car $f'' (- 4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 2, 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{4 (3 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 7)}{{((0) - 3)}^{3} {((0) + 2)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (3 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 7)}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 - 3 \cdot 0 + 7)}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 + 0 + 7)}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Étape 6.2.1.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 + 7)}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Étape 6.2.1.5

Additionnez $0$ et $7$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{{(- 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{{(- 3)}^{3} \cdot 2^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{- 27 \cdot 2^{3}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{- 27 \cdot 8}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Multipliez $4$ par $7$ .

$f'' (0) = - \frac{28}{- 27 \cdot 8}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $- 27$ par $8$ .

$f'' (0) = - \frac{28}{- 216}$

Étape 6.2.3.3

Annulez le facteur commun à $28$ et $- 216$ .

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Étape 6.2.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (7)}{- 216}$

Étape 6.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 216$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 54}$

Étape 6.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 54}$

Étape 6.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = - \frac{7}{- 54}$

Étape 6.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = \frac{7}{54}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{7}{54}$ .

$\frac{7}{54}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 2, 3)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 2, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = - \frac{4 (3 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 + 7)}{{((6) - 3)}^{3} {((6) + 2)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (3 \cdot 36 - 3 \cdot 6 + 7)}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $36$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (108 - 3 \cdot 6 + 7)}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (108 - 18 + 7)}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Étape 7.2.1.4

Soustrayez $18$ de $108$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (90 + 7)}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Étape 7.2.1.5

Additionnez $90$ et $7$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $3$ de $6$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{3^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{3^{3} \cdot 8^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{27 \cdot 8^{3}}$

Étape 7.2.2.4

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{27 \cdot 512}$

Étape 7.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $4$ par $97$ .

$f'' (6) = - \frac{388}{27 \cdot 512}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $27$ par $512$ .

$f'' (6) = - \frac{388}{13824}$

Étape 7.2.3.3

Annulez le facteur commun à $388$ et $13824$ .

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Étape 7.2.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $388$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (97)}{13824}$

Étape 7.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $13824$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{4 \cdot 3456}$

Étape 7.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{4 \cdot 3456}$

Étape 7.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (6) = - \frac{97}{3456}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- \frac{97}{3456}$ .

$- \frac{97}{3456}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(3, \infty)$ car $f'' (6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 2, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9