Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2}$

Étape 1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$y = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(3 x - 1)}^{2}$ et $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}] - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}] - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}] - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x - 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x - 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.4.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.4.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (3 + 0) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) \cdot 3 - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.4.7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} + 3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - {(3 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - {(3 x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - {(3 x - 1)}^{2} (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.6

Différenciez.

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Étape 3.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.6.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.6.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.6.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} (2 \cdot (x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.6.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 4 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 4 {(3 x - 1)}^{2} (x^{2} x + 3 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.2.1

Factorisez $2 (3 x - 1)$ à partir de $6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 4 {(3 x - 1)}^{2} (x^{2} x + 3 x)$ .

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Étape 3.7.2.1.1

Factorisez $2 (3 x - 1)$ à partir de $6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2}) - 4 {(3 x - 1)}^{2} (x^{2} x + 3 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.1.2

Factorisez $2 (3 x - 1)$ à partir de $- 4 {(3 x - 1)}^{2} (x^{2} x + 3 x)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2}) + 2 (3 x - 1) (- 2 (3 x - 1) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.1.3

Factorisez $2 (3 x - 1)$ à partir de $2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2}) + 2 (3 x - 1) (- 2 (3 x - 1) (x^{2} x + 3 x))$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} - 2 (3 x - 1) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.2.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.7.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} - 2 (3 x - 1) (x^{2} x^{1} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} - 2 (3 x - 1) (x^{2 + 1} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.2.3.1

Réécrivez ${(x^{2} + 3)}^{2}$ comme $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3)) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.2

Développez $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} (x^{2} + 3) + 3 (x^{2} + 3)) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 (x^{2} + 3)) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.7.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.2.3.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.2.3.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 9) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.3.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{4} + 6 x^{2} + 9) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 3 (6 x^{2}) + 3 \cdot 9 - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.5

Simplifiez

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Étape 3.7.2.3.5.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 3 \cdot 9 - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.5.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.7

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 + (- 6 x - 2 \cdot - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.8

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 + (- 6 x + 2) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.9

Développez $(- 6 x + 2) (x^{3} + 3 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.2.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x (x^{3} + 3 x) + 2 (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x^{3} - 6 x (3 x) + 2 (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x^{3} - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.2.3.10.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.2.3.10.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 (x^{3} x) - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.10.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 3.7.2.3.10.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 (x^{3} x^{1}) - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.10.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{3 + 1} - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.10.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.10.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 6 \cdot 3 x \cdot x + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.10.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.2.3.10.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 6 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.10.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 6 \cdot 3 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.10.4

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 18 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3.10.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 18 x^{2} + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.4

Associez les termes opposés dans $3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 18 x^{2} + 2 x^{3} + 6 x$ .

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Étape 3.7.2.4.1

Soustrayez $18 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 27 - 6 x^{4} + 0 + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.4.2

Additionnez $3 x^{4} + 27 - 6 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 27 - 6 x^{4} + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.5

Soustrayez $6 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 x^{4} + 27 + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 x^{4} + 2 x^{3} + 6 x + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7

Réécrivez $- 3 x^{4} + 2 x^{3} + 6 x + 27$ en forme factorisée.

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Étape 3.7.2.7.1

Regroupez les termes.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 x^{4} + 27 + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.2

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{4} + 27$ .

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Étape 3.7.2.7.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{4}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{4}) + 27 + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.2.2

Factorisez $- 3$ à partir de $27$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{4}) - 3 (- 9) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.2.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{4}) - 3 (- 9)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{4} - 9) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 ({(x^{2})}^{2} - 9) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 ({(x^{2})}^{2} - 3^{2}) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.6

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} + 6 x$ .

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Étape 3.7.2.7.6.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x (x^{2}) + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.6.2

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x (x^{2}) + 2 x (3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.6.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (3)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.7

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de $- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x (x^{2} + 3)$ .

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Étape 3.7.2.7.7.1

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de $- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 (x^{2} - 3)) + 2 x (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.7.2

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de $2 x (x^{2} + 3)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 (x^{2} - 3)) + (x^{2} + 3) (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.7.3

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de $(x^{2} + 3) (- 3 (x^{2} - 3)) + (x^{2} + 3) (2 x)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 (x^{2} - 3) + 2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.9

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 x^{2} + 9 + 2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.2.7.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 x^{2} + 2 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

$\frac{2 (3 x - 1) (x^{2} + 3) (- 3 x^{2} + 2 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.3

Annulez le facteur commun à $x^{2} + 3$ et ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

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Étape 3.7.3.1

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de $2 (3 x - 1) (x^{2} + 3) (- 3 x^{2} + 2 x + 9)$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (2 (3 x - 1) (- 3 x^{2} + 2 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.3.2.1

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (2 (3 x - 1) (- 3 x^{2} + 2 x + 9))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 3.7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 3) (2 (3 x - 1) (- 3 x^{2} + 2 x + 9))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 3.7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 x^{2} + 2 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 3.7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (- 3 x^{2} + 2 x + 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 3.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (3 x^{2}) + 2 x + 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 3.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 3.7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{2} - 2 x) + 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 3.7.8

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 3.7.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{2} - 2 x - 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 3.7.10

Réécrivez $- (3 x^{2} - 2 x - 9)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)$ .

$\frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 3.7.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 (3 x^{2} - 2 x - 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 3.7.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 (3 x^{2} - 2 x - 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{2} - 2 x - 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 (3 x^{2} - 2 x - 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

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Étape 4.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (3 x^{2} - 2 x - 9) (3 x - 1) = 0$

Étape 4.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 9 = 0$

$3 x - 1 = 0$

Étape 4.2.2

Définissez $3 x^{2} - 2 x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Définissez $3 x^{2} - 2 x - 9$ égal à $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 9 = 0$

Étape 4.2.2.2

Résolvez $3 x^{2} - 2 x - 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2.2.2

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 2$ et $c = - 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 9)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.2.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ .

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Étape 4.2.2.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.3.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 9$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 108}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $108$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.3.1.4

Réécrivez $112$ comme $4^{2} \cdot 7$ .

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Étape 4.2.2.2.3.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $112$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{16 (7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.3.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$

Étape 4.2.2.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{7}}{3}$

Étape 4.2.2.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.2.2.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ .

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Étape 4.2.2.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 9$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 108}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.4.1.3

Additionnez $4$ et $108$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.4.1.4

Réécrivez $112$ comme $4^{2} \cdot 7$ .

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Étape 4.2.2.2.4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $112$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{16 (7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$

Étape 4.2.2.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{7}}{3}$

Étape 4.2.2.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}$

Étape 4.2.2.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.2.2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ .

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Étape 4.2.2.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 9$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 108}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.5.1.3

Additionnez $4$ et $108$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.5.1.4

Réécrivez $112$ comme $4^{2} \cdot 7$ .

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Étape 4.2.2.2.5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $112$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{16 (7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.2.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$

Étape 4.2.2.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{7}}{3}$

Étape 4.2.2.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$

Étape 4.2.2.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}, \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$

Étape 4.2.3

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 4.2.3.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 4.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (3 x^{2} - 2 x - 9) (3 x - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}, \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}, \frac{1}{3}$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ sur $x = \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(1 + 2 \sqrt{7} - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(0 + 2 \sqrt{7})}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $0$ et $2 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(2 \sqrt{7})}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 {\sqrt{7}}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 5.2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{{(1 + 2 \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{{(1 + 2 \sqrt{7})}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez ${(1 + 2 \sqrt{7})}^{2}$ comme $(1 + 2 \sqrt{7}) (1 + 2 \sqrt{7})$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{(1 + 2 \sqrt{7}) (1 + 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.4

Développez $(1 + 2 \sqrt{7}) (1 + 2 \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 (1 + 2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} (1 + 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 \cdot 1 + 1 (2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} (1 + 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 \cdot 1 + 1 (2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} \cdot 1 + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.5.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 1 (2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} \cdot 1 + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.2

Multipliez $2 \sqrt{7}$ par $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} \cdot 1 + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.4

Multipliez $2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})$ .

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Étape 5.2.2.5.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.4.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 5.2.2.5.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.5.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.1.6

Multipliez $4$ par $7$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 28}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.2

Additionnez $1$ et $28$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.5.3

Additionnez $2 \sqrt{7}$ et $2 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.6

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9})}^{2}}$

Étape 5.2.2.7

Associez $3$ et $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 5.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7} + 3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 5.2.2.9

Réécrivez $\frac{29 + 4 \sqrt{7} + 3 \cdot 9}{9}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.2.9.1

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7} + 27}{9})}^{2}}$

Étape 5.2.2.9.2

Additionnez $29$ et $27$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{56 + 4 \sqrt{7}}{9})}^{2}}$

Étape 5.2.2.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{56 + 4 \sqrt{7}}{9}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{{(56 + 4 \sqrt{7})}^{2}}{9^{2}}}$

Étape 5.2.2.11

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{{(56 + 4 \sqrt{7})}^{2}}{81}}$

Étape 5.2.2.12

Réécrivez ${(56 + 4 \sqrt{7})}^{2}$ comme $(56 + 4 \sqrt{7}) (56 + 4 \sqrt{7})$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{(56 + 4 \sqrt{7}) (56 + 4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 5.2.2.13

Développez $(56 + 4 \sqrt{7}) (56 + 4 \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 (56 + 4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} (56 + 4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 5.2.2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 \cdot 56 + 56 (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} (56 + 4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 5.2.2.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 \cdot 56 + 56 (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} \cdot 56 + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 5.2.2.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.14.1.1

Multipliez $56$ par $56$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 56 (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} \cdot 56 + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.2

Multipliez $4$ par $56$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} \cdot 56 + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.3

Multipliez $56$ par $4$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.4

Multipliez $4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$ .

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Étape 5.2.2.14.1.4.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \sqrt{7} \sqrt{7}}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.4.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 {\sqrt{7}}^{2}}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 5.2.2.14.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.14.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7}{81}}$

Étape 5.2.2.14.1.6

Multipliez $16$ par $7$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 112}{81}}$

Étape 5.2.2.14.2

Additionnez $3136$ et $112$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3248 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7}}{81}}$

Étape 5.2.2.14.3

Additionnez $224 \sqrt{7}$ et $224 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{81}}$

Étape 5.2.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{28}{\frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{81}}$

Étape 5.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81}{3248 + 448 \sqrt{7}})$

Étape 5.2.5

Multipliez $\frac{81}{3248 + 448 \sqrt{7}}$ par $\frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{3248 - 448 \sqrt{7}}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81}{3248 + 448 \sqrt{7}} \cdot \frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{3248 - 448 \sqrt{7}})$

Étape 5.2.6

Multipliez $\frac{81}{3248 + 448 \sqrt{7}}$ par $\frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{3248 - 448 \sqrt{7}}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{(3248 + 448 \sqrt{7}) (3248 - 448 \sqrt{7})})$

Étape 5.2.7

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{10549504 - 1455104 \sqrt{7} + 1455104 \sqrt{7} - 200704 {\sqrt{7}}^{2}})$

Étape 5.2.8

Simplifiez

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{9144576})$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun de $28$ .

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Étape 5.2.9.1

Factorisez $28$ à partir de $9144576$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{28 (326592)})$

Étape 5.2.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{28 \cdot 326592})$

Étape 5.2.9.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{326592}$

Étape 5.2.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.10.1

Factorisez $81$ à partir de $326592$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{81 \cdot 4032}$

Étape 5.2.10.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{81 \cdot 4032}$

Étape 5.2.10.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{4032}$

Étape 5.2.11

Annulez le facteur commun à $3248 - 448 \sqrt{7}$ et $4032$ .

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Étape 5.2.11.1

Factorisez $112$ à partir de $3248$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29) - 448 \sqrt{7}}{4032}$

Étape 5.2.11.2

Factorisez $112$ à partir de $- 448 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29) + 112 (- 4 \sqrt{7})}{4032}$

Étape 5.2.11.3

Factorisez $112$ à partir de $112 (29) + 112 (- 4 \sqrt{7})$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 - 4 \sqrt{7})}{4032}$

Étape 5.2.11.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.11.4.1

Factorisez $112$ à partir de $4032$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 - 4 \sqrt{7})}{112 \cdot 36}$

Étape 5.2.11.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 - 4 \sqrt{7})}{112 \cdot 36}$

Étape 5.2.11.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}$

Étape 5.2.12

La réponse finale est $\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}$ .

$\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}$

Étape 6

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ sur $x = \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(1 - 2 \sqrt{7} - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(0 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $2 \sqrt{7}$ de $0$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(- 2 \sqrt{7})}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(- 2)}^{2} {\sqrt{7}}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 {\sqrt{7}}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 6.2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{{(1 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{{(1 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez ${(1 - 2 \sqrt{7})}^{2}$ comme $(1 - 2 \sqrt{7}) (1 - 2 \sqrt{7})$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{(1 - 2 \sqrt{7}) (1 - 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Développez $(1 - 2 \sqrt{7}) (1 - 2 \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 (1 - 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} (1 - 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} (1 - 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} \cdot 1 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.5.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 1 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} \cdot 1 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.2

Multipliez $- 2 \sqrt{7}$ par $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} \cdot 1 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.4

Multipliez $- 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})$ .

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Étape 6.2.2.5.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.4.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 6.2.2.5.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.5.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.1.6

Multipliez $4$ par $7$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 28}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.2

Additionnez $1$ et $28$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.3

Soustrayez $2 \sqrt{7}$ de $- 2 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.6

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9})}^{2}}$

Étape 6.2.2.7

Associez $3$ et $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 6.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7} + 3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 6.2.2.9

Réécrivez $\frac{29 - 4 \sqrt{7} + 3 \cdot 9}{9}$ en forme factorisée.

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Étape 6.2.2.9.1

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7} + 27}{9})}^{2}}$

Étape 6.2.2.9.2

Additionnez $29$ et $27$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{56 - 4 \sqrt{7}}{9})}^{2}}$

Étape 6.2.2.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{56 - 4 \sqrt{7}}{9}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{{(56 - 4 \sqrt{7})}^{2}}{9^{2}}}$

Étape 6.2.2.11

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{{(56 - 4 \sqrt{7})}^{2}}{81}}$

Étape 6.2.2.12

Réécrivez ${(56 - 4 \sqrt{7})}^{2}$ comme $(56 - 4 \sqrt{7}) (56 - 4 \sqrt{7})$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{(56 - 4 \sqrt{7}) (56 - 4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 6.2.2.13

Développez $(56 - 4 \sqrt{7}) (56 - 4 \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 (56 - 4 \sqrt{7}) - 4 \sqrt{7} (56 - 4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 6.2.2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 \cdot 56 + 56 (- 4 \sqrt{7}) - 4 \sqrt{7} (56 - 4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 6.2.2.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 \cdot 56 + 56 (- 4 \sqrt{7}) - 4 \sqrt{7} \cdot 56 - 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 6.2.2.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.2.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.14.1.1

Multipliez $56$ par $56$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 56 (- 4 \sqrt{7}) - 4 \sqrt{7} \cdot 56 - 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.2

Multipliez $- 4$ par $56$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} \cdot 56 - 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.3

Multipliez $56$ par $- 4$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.4

Multipliez $- 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})$ .

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Étape 6.2.2.14.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \sqrt{7} \sqrt{7}}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.4.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 {\sqrt{7}}^{2}}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 6.2.2.14.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.14.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7}{81}}$

Étape 6.2.2.14.1.6

Multipliez $16$ par $7$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 112}{81}}$

Étape 6.2.2.14.2

Additionnez $3136$ et $112$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3248 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7}}{81}}$

Étape 6.2.2.14.3

Soustrayez $224 \sqrt{7}$ de $- 224 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{81}}$

Étape 6.2.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{28}{\frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{81}}$

Étape 6.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81}{3248 - 448 \sqrt{7}})$

Étape 6.2.5

Multipliez $\frac{81}{3248 - 448 \sqrt{7}}$ par $\frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{3248 + 448 \sqrt{7}}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81}{3248 - 448 \sqrt{7}} \cdot \frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{3248 + 448 \sqrt{7}})$

Étape 6.2.6

Multipliez $\frac{81}{3248 - 448 \sqrt{7}}$ par $\frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{3248 + 448 \sqrt{7}}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{(3248 - 448 \sqrt{7}) (3248 + 448 \sqrt{7})})$

Étape 6.2.7

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{10549504 + 1455104 \sqrt{7} - 1455104 \sqrt{7} - 200704 {\sqrt{7}}^{2}})$

Étape 6.2.8

Simplifiez

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{9144576})$

Étape 6.2.9

Annulez le facteur commun de $28$ .

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Étape 6.2.9.1

Factorisez $28$ à partir de $9144576$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{28 (326592)})$

Étape 6.2.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{28 \cdot 326592})$

Étape 6.2.9.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{326592}$

Étape 6.2.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.10.1

Factorisez $81$ à partir de $326592$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{81 \cdot 4032}$

Étape 6.2.10.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{81 \cdot 4032}$

Étape 6.2.10.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{4032}$

Étape 6.2.11

Annulez le facteur commun à $3248 + 448 \sqrt{7}$ et $4032$ .

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Étape 6.2.11.1

Factorisez $112$ à partir de $3248$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29) + 448 \sqrt{7}}{4032}$

Étape 6.2.11.2

Factorisez $112$ à partir de $448 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29) + 112 (4 \sqrt{7})}{4032}$

Étape 6.2.11.3

Factorisez $112$ à partir de $112 (29) + 112 (4 \sqrt{7})$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 + 4 \sqrt{7})}{4032}$

Étape 6.2.11.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.11.4.1

Factorisez $112$ à partir de $4032$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 + 4 \sqrt{7})}{112 \cdot 36}$

Étape 6.2.11.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 + 4 \sqrt{7})}{112 \cdot 36}$

Étape 6.2.11.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}$

Étape 6.2.12

La réponse finale est $\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}$ .

$\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}$

Étape 7

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ sur $x = \frac{1}{3}$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{{(1 - 1)}^{2}}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0^{2}}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1^{2}}{3^{2}} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1}{3^{2}} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1}{9} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9})}^{2}}$

Étape 7.2.2.5

Associez $3$ et $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 7.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1 + 3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 7.2.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.7.1

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1 + 27}{9})}^{2}}$

Étape 7.2.2.7.2

Additionnez $1$ et $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{28}{9})}^{2}}$

Étape 7.2.2.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{28}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{\frac{28^{2}}{9^{2}}}$

Étape 7.2.2.9

Élevez $28$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{\frac{784}{9^{2}}}$

Étape 7.2.2.10

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{\frac{784}{81}}$

Étape 7.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{1}{3}) = 0 (\frac{81}{784})$

Étape 7.2.4

Multipliez $0$ par $\frac{81}{784}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 0$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 8

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ sont $y = \frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}, y = \frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}, y = 0$ .

$y = \frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}, y = \frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}, y = 0$

Étape 9