Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{\tan (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.2.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.2.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.2.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Étape 1.3.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3.5

Additionnez $2 e^{2 x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3.6

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\sec^{2} (x)}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x}}{\sec^{2} (x)}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 6

Placez la limite dans l’exposant.

$2 \frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{e^{2 \cdot 0}}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{e^{2 \cdot 0}}{\sec^{2} (0)}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 \frac{e^{0}}{\sec^{2} (0)}$

Étape 11.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$2 \frac{1}{1^{2}}$

Étape 11.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 11.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 11.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 1$

Étape 11.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$