Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 x^{2} + 10 x - 1}{8 x^{2} - 5 x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} + 10 x - 1}{lim_{x \to - \infty} 8 x^{2} - 5 x}$

Étape 1.2

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré pair dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 8 x^{2} - 5 x}$

Étape 1.3

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré pair dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 x^{2} + 10 x - 1}{8 x^{2} - 5 x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 10 x - 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 10 x - 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} + 10 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 + 0}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Étape 3.6

Additionnez $18 x + 10$ et $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{2} - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Étape 3.8.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Étape 3.8.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Étape 3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 3.9.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5 \cdot 1}$

Étape 3.9.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5}$

Étape 4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{18 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{18 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Étape 5.1.2

Divisez $18$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $16$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{16 + \frac{- 5}{x}}$

Étape 5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{16 - \frac{5}{x}}$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 18 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Étape 5.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 18 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $18$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{18 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Étape 5.6

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{18 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Étape 7.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - 5 \cdot 0}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun à $18 + 10 \cdot 0$ et $16 - 5 \cdot 0$ .

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Étape 9.1.1

Réécrivez $16$ comme $- 1 (- 16)$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16) - 5 \cdot 0}$

Étape 9.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 \cdot 0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16) - (5 \cdot 0)}$

Étape 9.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 16) - (5 \cdot 0)$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 5 \cdot 0)}$

Étape 9.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Étape 9.1.5

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 (9) + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Étape 9.1.6

Factorisez $2$ à partir de $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (9) + 2 (5 \cdot 0)}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Étape 9.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (9) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Étape 9.1.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{2 (- 1 (- 8 + 0 \cdot 5))}$

Étape 9.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{2 (- 1 (- 8 + 0 \cdot 5))}$

Étape 9.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 + 5 \cdot 0}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{9 + 0}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Étape 9.2.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{9}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Étape 9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.1

Multipliez $0$ par $5$ .

$\frac{9}{- 1 (- 8 + 0)}$

Étape 9.3.2

Additionnez $- 8$ et $0$ .

$\frac{9}{- 1 \cdot - 8}$

Étape 9.4

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$\frac{9}{8}$