Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (5 + 4 x) e^{- 5 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 5 + 4 x$ et $g (x) = e^{- 5 x}$ .

$(5 + 4 x) \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 5 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 5 x$ .

$(5 + 4 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(5 + 4 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 5 x$ .

$(5 + 4 x) (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Étape 1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} \cdot - 5 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Étape 1.3.3.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $(5 + 4 x) e^{- 5 x}$ .

$- 5 \cdot ((5 + 4 x) e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Étape 1.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 1.3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 1.3.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.3.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (4 \cdot 1)$

Étape 1.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.9.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} \cdot 4$

Étape 1.3.9.2

Déplacez $4$ à gauche de $e^{- 5 x}$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + 4 \cdot e^{- 5 x}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 5 \cdot 5 - 5 (4 x)) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 \cdot 5 e^{- 5 x} - 5 (4 x) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

Étape 1.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$- 25 e^{- 5 x} - 5 (4 x) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$- 25 e^{- 5 x} - 20 x e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

Étape 1.4.3.3

Additionnez $- 25 e^{- 5 x}$ et $4 e^{- 5 x}$ .

$- 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$

Étape 1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 20 e^{- 5 x} x - 21 e^{- 5 x}$

Étape 1.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 20 e^{- 5 x} x - 21 e^{- 5 x}$ .

$f' (x) = - 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x e^{- 5 x}]$ .

$- 20 \frac{d}{d x} [x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- 5 x}$ .

$- 20 (x \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 5 x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 5 x$ .

$- 20 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 20 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 5 x$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Étape 2.2.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} \cdot - 5) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Étape 2.2.8

Déplacez $- 5$ à gauche de $e^{- 5 x}$ .

$- 20 (x (- 5 \cdot e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Étape 2.2.9

Multipliez $e^{- 5 x}$ par $1$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 21 e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $- 21 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 5 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 5 x$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 5 x$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 2.3.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Étape 2.3.6

Déplacez $- 5$ à gauche de $e^{- 5 x}$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 5$ par $- 21$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) + 105 e^{- 5 x}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x})) - 20 e^{- 5 x} + 105 e^{- 5 x}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 20$ .

$100 (x (e^{- 5 x})) - 20 e^{- 5 x} + 105 e^{- 5 x}$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $- 20 e^{- 5 x}$ et $105 e^{- 5 x}$ .

$100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$100 e^{- 5 x} x + 85 e^{- 5 x}$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $100 e^{- 5 x} x + 85 e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = 100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$ .

$100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$