Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)$

Étape 1.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Étape 2.3.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{2} \cos (x) - 2 (\sin (x) (x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 2 (x (\sin (x))) + 2 \cos (x)$

Étape 2.4.3.3

Soustrayez $2 x \sin (x)$ de $- 2 \sin (x) x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.3.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Étape 2.4.3.3.2

Soustrayez $2 x \sin (x)$ de $- 2 x \sin (x)$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 4 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- x^{2} \cos (x) - 4 x \sin (x) + 2 \cos (x)$ .

$- x^{2} \cos (x) - 4 x \sin (x) + 2 \cos (x)$