Calcul infinitésimal Exemples

$f (u) = \frac{u}{u^{2} + 6}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ est $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ où $f (u) = u$ et $g (u) = u^{2} + 6$ .

$\frac{(u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 6) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $u^{2} + 6$ par $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u^{2} + 6$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6])}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u + \frac{d}{d u} [6])}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Comme $6$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $6$ par rapport à $u$ est $0$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u + 0)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $2 u$ et $0$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u \cdot u}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 (u^{1} u)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 (u^{1} u^{1})}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u^{1 + 1}}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u^{2}}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.7

Soustrayez $2 u^{2}$ de $u^{2}$ .

$\frac{- u^{2} + 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$\frac{- (u^{2}) + 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.8.2

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (u^{2}) - 1 (- 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2}) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (u^{2} - 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.8.4

Réécrivez $- (u^{2} - 6)$ comme $- 1 (u^{2} - 6)$ .

$\frac{- 1 (u^{2} - 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 1.8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (u) = - \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ est $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ où $f (u) = - 1$ et $g (u) = \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d u} [\frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}] + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.2

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{({(u^{2} + 6)}^{2})}^{2}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(u^{2} + 6)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u^{2} - 6$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [- 6]) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.3.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $u$ est $0$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u + 0) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Additionnez $2 u$ et $0$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(u^{2} + 6)}^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = u^{2}$ et $g (u) = u^{2} + 6$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (2 u_{1} \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (2 (u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u^{2} + 6$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u + \frac{d}{d u} [6]))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.5.4

Comme $6$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $6$ par rapport à $u$ est $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u + 0))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.5.1

Additionnez $2 u$ et $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.5.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) (2 \cdot (u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.5.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Étape 2.5.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $u$ est $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.7.1

Multipliez $\frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$ par $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + 0$

Étape 2.5.7.2

Additionnez $- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$ et $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.3.1.1

Réécrivez ${(u^{2} + 6)}^{2}$ comme $(u^{2} + 6) (u^{2} + 6)$ .

$- \frac{2 ((u^{2} + 6) (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.2

Développez $(u^{2} + 6) (u^{2} + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (u^{2} (u^{2} + 6) + 6 (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (u^{2} u^{2} + u^{2} \cdot 6 + 6 (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (u^{2} u^{2} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.3.1.3.1.1

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.3.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 (u^{2 + 2} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{2 (u^{4} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.3.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $u^{2}$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 6 \cdot u^{2} + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.3.1.3

Multipliez $6$ par $6$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 6 u^{2} + 6 u^{2} + 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.3.2

Additionnez $6 u^{2}$ et $6 u^{2}$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 12 u^{2} + 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(2 u^{4} + 2 (12 u^{2}) + 2 \cdot 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.5

Simplifiez

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Étape 2.6.3.1.5.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$- \frac{(2 u^{4} + 24 u^{2} + 2 \cdot 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.5.2

Multipliez $2$ par $36$ .

$- \frac{(2 u^{4} + 24 u^{2} + 72) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 u^{4} u + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.7

Simplifiez

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Étape 2.6.3.1.7.1

Multipliez $u^{4}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.3.1.7.1.1

Déplacez $u$ .

$- \frac{2 (u \cdot u^{4}) + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.7.1.2

Multipliez $u$ par $u^{4}$ .

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Étape 2.6.3.1.7.1.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 (u^{1} u^{4}) + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 u^{1 + 4} + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.7.2

Multipliez $u^{2}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.3.1.7.2.1

Déplacez $u$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 (u \cdot u^{2}) + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.7.2.2

Multipliez $u$ par $u^{2}$ .

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Étape 2.6.3.1.7.2.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 (u^{1} u^{2}) + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{1 + 2} + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.8

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.9

Multipliez $u^{2}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.3.1.9.1

Multipliez $u^{2}$ par $u$ .

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Étape 2.6.3.1.9.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2} u^{1} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2 + 1} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.9.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.10

Développez $(- 4 u^{2} + 24) (u^{3} + 6 u)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.3.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} (u^{3} + 6 u) + 24 (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} u^{3} - 4 u^{2} (6 u) + 24 (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} u^{3} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.3.1.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.3.1.11.1.1

Multipliez $u^{2}$ par $u^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.3.1.11.1.1.1

Déplacez $u^{3}$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 (u^{3} u^{2}) - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{3 + 2} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{2} u + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11.1.3

Multipliez $u^{2}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.3.1.11.1.3.1

Déplacez $u$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 (u \cdot u^{2}) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11.1.3.2

Multipliez $u$ par $u^{2}$ .

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Étape 2.6.3.1.11.1.3.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 (u^{1} u^{2}) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{1 + 2} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{3} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11.1.4

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 24 u^{3} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11.1.5

Multipliez $6$ par $24$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 24 u^{3} + 24 u^{3} + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11.2

Additionnez $- 24 u^{3}$ et $24 u^{3}$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} + 0 + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11.3

Additionnez $- 4 u^{5}$ et $0$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.2

Soustrayez $4 u^{5}$ de $2 u^{5}$ .

$- \frac{- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.3.3

Additionnez $72 u$ et $144 u$ .

$- \frac{- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.4.1

Factorisez $2 u$ à partir de $- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 216 u$ .

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Étape 2.6.4.1.1

Factorisez $2 u$ à partir de $- 2 u^{5}$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 24 u^{3} + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4.1.2

Factorisez $2 u$ à partir de $24 u^{3}$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2}) + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4.1.3

Factorisez $2 u$ à partir de $216 u$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2}) + 2 u (108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4.1.4

Factorisez $2 u$ à partir de $2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2})$ .

$- \frac{2 u (- u^{4} + 12 u^{2}) + 2 u (108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4.1.5

Factorisez $2 u$ à partir de $2 u (- u^{4} + 12 u^{2}) + 2 u (108)$ .

$- \frac{2 u (- u^{4} + 12 u^{2} + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez $u^{4}$ comme ${(u^{2})}^{2}$ .

$- \frac{2 u (- {(u^{2})}^{2} + 12 u^{2} + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4.3

Laissez $u = u^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $u^{2}$ par $u$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} + 12 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.6.4.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 108 = - 108$ et dont la somme est $b = 12$ .

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Étape 2.6.4.4.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 u$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} + 12 (u) + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4.4.1.2

Réécrivez $12$ comme $- 6$ plus $18$

$- \frac{2 u (- u^{2} + (- 6 + 18) u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 u (- u^{2} - 6 u + 18 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.6.4.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \frac{2 u ((- u^{2} - 6 u) + 18 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- \frac{2 u (u (- u - 6) - 18 (- u - 6))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u - 6$ .

$- \frac{2 u ((- u - 6) (u - 18))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} - 6) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.5

Annulez le facteur commun à $- u^{2} - 6$ et ${(u^{2} + 6)}^{4}$ .

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Étape 2.6.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2}) - 6) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.5.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2}) - 1 (6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2}) - 1 (6)$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.5.4

Réécrivez $- (u^{2} + 6)$ comme $- 1 (u^{2} + 6)$ .

$- \frac{2 u (- 1 (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.5.5

Factorisez $u^{2} + 6$ à partir de $2 u (- 1 (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)$ .

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Étape 2.6.5.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.5.6.1

Factorisez $u^{2} + 6$ à partir de ${(u^{2} + 6)}^{4}$ .

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{(u^{2} + 6) {(u^{2} + 6)}^{3}}$

Étape 2.6.5.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{(u^{2} + 6) {(u^{2} + 6)}^{3}}$

Étape 2.6.5.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Étape 2.6.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{- 2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Étape 2.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Étape 2.6.8

Multipliez $- - \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ .

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Étape 2.6.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Étape 2.6.8.2

Multipliez $\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (u) = \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ .

$\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$