Calcul infinitésimal Exemples

$h (w) = {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5}{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = w^{\frac{5}{2}}$ et $g (w) = w^{2} + 6 w + 8$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $w^{2} + 6 w + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $w^{2} + 6 w + 8$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Étape 1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Étape 1.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Étape 1.5.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Étape 1.6

Associez $\frac{5}{2}$ et ${(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Étape 1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $w^{2} + 6 w + 8$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8]$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8])$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8])$

Étape 1.9

Comme $6$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $6 w$ par rapport à $w$ est $6 \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [8])$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [8])$

Étape 1.11

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6 + \frac{d}{d w} [8])$

Étape 1.12

Comme $8$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $8$ par rapport à $w$ est $0$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6 + 0)$

Étape 1.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.13.1

Additionnez $2 w + 6$ et $0$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6)$

Étape 1.13.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6)$ .

$f' (w) = (2 w + 6) \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ est $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ où $f (w) = 2 w + 6$ et $g (w) = \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{d}{d w} [\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}] + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.2

Comme $\frac{5}{2}$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ par rapport à $w$ est $\frac{5}{2} \frac{d}{d w} [{(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$(2 w + 6) (\frac{5}{2} \frac{d}{d w} [{(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = w^{\frac{3}{2}}$ et $g (w) = w^{2} + 6 w + 8$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $w^{2} + 6 w + 8$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $w^{2} + 6 w + 8$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.8

Associez les fractions.

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Étape 2.8.1

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.8.2

Multipliez $\frac{3 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{5}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{3 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{2 \cdot 2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8] + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.8.3

Multipliez.

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Étape 2.8.3.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8] + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.8.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8] + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $w^{2} + 6 w + 8$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8]$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.11

Comme $6$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $6 w$ par rapport à $w$ est $6 \frac{d}{d w} [w]$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.13

Multipliez $6$ par $1$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6 + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.14

Comme $8$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $8$ par rapport à $w$ est $0$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6 + 0) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.15

Additionnez $2 w + 6$ et $0$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.16

Élevez $2 w + 6$ à la puissance $1$ .

${(2 w + 6)}^{1} (2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.17

Élevez $2 w + 6$ à la puissance $1$ .

${(2 w + 6)}^{1} {(2 w + 6)}^{1} \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(2 w + 6)}^{1 + 1} \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.19

Associez les fractions.

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Étape 2.19.1

Additionnez $1$ et $1$ .

${(2 w + 6)}^{2} \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.19.2

Associez ${(2 w + 6)}^{2}$ et $\frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\frac{{(2 w + 6)}^{2} (15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}})}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.19.3

Déplacez $15$ à gauche de ${(2 w + 6)}^{2}$ .

$\frac{15 \cdot {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Étape 2.20

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 w + 6$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [6]$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [6])$

Étape 2.21

Comme $2$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $2 w$ par rapport à $w$ est $2 \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [6])$

Étape 2.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [6])$

Étape 2.23

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 + \frac{d}{d w} [6])$

Étape 2.24

Comme $6$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $6$ par rapport à $w$ est $0$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 + 0)$

Étape 2.25

Simplifiez les termes.

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Étape 2.25.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 2$

Étape 2.25.2

Associez $\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ et $2$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2}$

Étape 2.25.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{10 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 2.25.4

Factorisez $2$ à partir de $10 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{2 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}})}{2}$

Étape 2.26

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.26.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{2 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Étape 2.26.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{2 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.26.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{1}$

Étape 2.26.4

Divisez $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.27

Pour écrire $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.28

Associez $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4}{4}$

Étape 2.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4}{4}$

Étape 2.30

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} + 20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{4}$

Étape 2.31

Simplifiez

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Étape 2.31.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.31.1.1

Factorisez $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} + 20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.31.1.1.1

Factorisez $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 w + 6)}^{2}) + 20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{4}$

Étape 2.31.1.1.2

Factorisez $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 w + 6)}^{2}) + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}})}{4}$

Étape 2.31.1.1.3

Factorisez $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 w + 6)}^{2}) + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 w + 6)}^{2} + 4 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}})}{4}$

Étape 2.31.1.2

Laissez $u_{2} = {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}}$ par $u_{2}$ .

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Étape 2.31.1.2.1

Réécrivez ${(2 w + 6)}^{2}$ comme $(2 w + 6) (2 w + 6)$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 ((2 w + 6) (2 w + 6)) + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.2

Développez $(2 w + 6) (2 w + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.31.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 w (2 w + 6) + 6 (2 w + 6)) + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 w (2 w) + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w + 6)) + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 w (2 w) + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.31.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.31.1.2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 \cdot 2 w \cdot w + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.3.1.2

Multipliez $w$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.31.1.2.3.1.2.1

Déplacez $w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 \cdot 2 (w \cdot w) + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.3.1.2.2

Multipliez $w$ par $w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 \cdot 2 w^{2} + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.3.1.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 12 w + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.3.1.5

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 12 w + 12 w + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.3.1.6

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 12 w + 12 w + 36) + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.3.2

Additionnez $12 w$ et $12 w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 24 w + 36) + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2}) + 3 (24 w) + 3 \cdot 36 + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.5

Simplifiez

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Étape 2.31.1.2.5.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (12 w^{2} + 3 (24 w) + 3 \cdot 36 + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.5.2

Multipliez $24$ par $3$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (12 w^{2} + 72 w + 3 \cdot 36 + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.2.5.3

Multipliez $3$ par $36$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (12 w^{2} + 72 w + 108 + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.3

Factorisez $4$ à partir de $12 w^{2} + 72 w + 108 + 4 u_{2}$ .

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Étape 2.31.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $12 w^{2}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2}) + 72 w + 108 + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $72 w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2}) + 4 (18 w) + 108 + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $108$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2}) + 4 (18 w) + 4 \cdot 27 + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.3.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (3 w^{2}) + 4 (18 w)$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w) + 4 \cdot 27 + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.3.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (3 w^{2} + 18 w) + 4 \cdot 27$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27) + 4 u_{2})}{4}$

Étape 2.31.1.3.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (3 w^{2} + 18 w + 27) + 4 u_{2}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27 + u_{2}))}{4}$

Étape 2.31.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27 + {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}}))}{4}$

Étape 2.31.1.5

Simplifiez

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Étape 2.31.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.31.1.5.1.1

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27 + {(w^{2} + 6 w + 8)}^{1}))}{4}$

Étape 2.31.1.5.1.2

Simplifiez

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27 + w^{2} + 6 w + 8))}{4}$

Étape 2.31.1.5.2

Additionnez $3 w^{2}$ et $w^{2}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (4 w^{2} + 18 w + 27 + 6 w + 8))}{4}$

Étape 2.31.1.5.3

Additionnez $18 w$ et $6 w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (4 w^{2} + 24 w + 27 + 8))}{4}$

Étape 2.31.1.5.4

Additionnez $27$ et $8$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (4 w^{2} + 24 w + 35))}{4}$

Étape 2.31.1.6

Factorisez.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 (2 w + 5) (2 w + 7)}{4}$

Étape 2.31.1.7

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)}{4}$

Étape 2.31.2

Associez des termes.

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Étape 2.31.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$ .

$\frac{4 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7))}{4}$

Étape 2.31.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.31.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7))}{4 (1)}$

Étape 2.31.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7))}{4 \cdot 1}$

Étape 2.31.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)}{1}$

Étape 2.31.2.2.4

Divisez $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$ par $1$ .

$f'' (w) = 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$

Étape 3

La dérivée seconde de $h (w)$ par rapport à $w$ est $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$ .

$5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$