Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3}{e^{x} - 2}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{3}{e^{x} - 2}$ est indéfinie.

$x = \ln (2)$

Étape 2

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{3}{e^{x} - 2}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 2.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} - 2}$

Étape 2.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{x} - 2}$ approche de $0$ .

$3 \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$0$

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{3}{e^{x} - 2}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{x} - 2}$

Étape 3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 2}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 2}$

Étape 3.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 3.2

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$3 \frac{1}{0 - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{0 - 1 \cdot 2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 \frac{1}{0 - 2}$

Étape 3.3.2.1.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$3 (\frac{1}{- 2})$

Étape 3.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{1}{2})$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $3 (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Étape 3.3.2.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Étape 3.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2}$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0, - \frac{3}{2}$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = \ln (2)$

Asymptotes horizontales : $y = 0, - \frac{3}{2}$

Aucune asymptote oblique

Étape 7