Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$12 x + 6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$12 x + 6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$12 x + 6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 1.1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$12 x + 6 (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 1.1.3.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$f' (x) = 12 x + 12 \cos (2 x)$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x + 12 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$12 + 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$12 + 12 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$12 + 12 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 1.2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 1.2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$12 + 12 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 1.2.3.7

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$f'' (x) = 12 - 24 \sin (2 x)$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 - 24 \sin (2 x)$ .

$12 - 24 \sin (2 x)$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 - 24 \sin (2 x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 - 24 \sin (2 x) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$- 24 \sin (2 x) = - 12$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 24 \sin (2 x) = - 12$ par $- 24$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 24 \sin (2 x) = - 12$ par $- 24$ .

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 24$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12}{- 24}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $- 24$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $- 12$ à partir de $- 12$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12 (1)}{- 24}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $- 12$ à partir de $- 24$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 2.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.6.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.6.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 2.6.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 2.7

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Étape 2.8

Résolvez $x$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez

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Étape 2.8.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.8.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.8.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 2.8.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 6$ .

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Étape 2.8.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 2.8.1.4.2

Soustrayez $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Étape 2.8.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.8.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 2.8.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 2.8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.8.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.8.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Étape 2.8.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 2.9

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.9.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 2.9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.9.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.10

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{π}{12}$ dans $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{12}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = 6 {(\frac{π}{12})}^{2} + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{12}$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{144}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Étape 3.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.1.2.1.3.1

Factorisez $6$ à partir de $144$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{6 (24)}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Étape 3.1.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{6 \cdot 24}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Étape 3.1.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Étape 3.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

Étape 3.1.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

Étape 3.1.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.1.2.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 (\frac{1}{2})$

Étape 3.1.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 2 (3) (\frac{1}{2})$

Étape 3.1.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2}))$

Étape 3.1.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 3$

Étape 3.1.2.2

La réponse finale est $\frac{π^{2}}{24} + 3$ .

$\frac{π^{2}}{24} + 3$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{π}{12}$ dans $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ est $(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3)$

Étape 3.3

Remplacez $\frac{5 π}{12}$ dans $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{12}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 {(\frac{5 π}{12})}^{2} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 π}{12}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{{(5 π)}^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 3.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{5^{2} π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{144}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Factorisez $6$ à partir de $144$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{6 (24)}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 3.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{6 \cdot 24}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 3.3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 3.3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

Étape 3.3.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

Étape 3.3.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{5 π}{6})$

Étape 3.3.2.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 3.3.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 (\frac{1}{2})$

Étape 3.3.2.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 2 (3) (\frac{1}{2})$

Étape 3.3.2.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2}))$

Étape 3.3.2.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 3$

Étape 3.3.2.2

La réponse finale est $\frac{25 π^{2}}{24} + 3$ .

$\frac{25 π^{2}}{24} + 3$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $\frac{5 π}{12}$ dans $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ est $(\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{π}{12}) \cup (\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}) \cup (\frac{5 π}{12}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{12})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0.16179938$ dans l’expression.

$f'' (0.16179938) = 12 - 24 \sin (2 (0.16179938))$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $0.16179938$ .

$f'' (0.16179938) = 12 - 24 \sin (0.32359877)$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $12 - 24 \sin (0.32359877)$ .

$12 - 24 \sin (0.32359877)$

Étape 5.3

Sur $0.16179938$ , la dérivée seconde est $4.36846556$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{12})$ .

Augmente sur $(- \infty, \frac{π}{12})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.78539816$ dans l’expression.

$f'' (0.78539816) = 12 - 24 \sin (2 (0.78539816))$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $0.78539816$ .

$f'' (0.78539816) = 12 - 24 \sin (1.57079632)$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $12 - 24 \sin (1.57079632)$ .

$12 - 24 \sin (1.57079632)$

Étape 6.3

Sur $0.78539816$ , la dérivée seconde est $- 12$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$

Diminue sur $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.40899693$ dans l’expression.

$f'' (1.40899693) = 12 - 24 \sin (2 (1.40899693))$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $2$ par $1.40899693$ .

$f'' (1.40899693) = 12 - 24 \sin (2.81799387)$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $12 - 24 \sin (2.81799387)$ .

$12 - 24 \sin (2.81799387)$

Étape 7.3

Sur $1.40899693$ , la dérivée seconde est $4.36846556$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

Étape 9