Calcul infinitésimal Exemples

$y = 1 - 9 x^{2}$ , $y = 0$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = - 9 x^{2} + 1$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(- 9 x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ .

$V = (- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$

Étape 2.2

Développez $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2} + 1) + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2} x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 (x^{2} x^{2})) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2 + 2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{4}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $- 9$ par $- 9$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 9 x^{2}$ par $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1$

Étape 2.3.2

Soustrayez $9 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$V = 81 x^{4} - 18 x^{2} + 1$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} 81 x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Étape 4

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , placez $81$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (81 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Étape 7

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 18$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $0.\overline{3}$ et sur $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 ((\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5}) - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

Étape 11.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $0.\overline{3}$ et sur $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

Étape 11.3

Évaluez $x$ sur $0.\overline{3}$ et sur $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4

Simplifiez

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Étape 11.4.1

Élevez $0.\overline{3}$ à la puissance $5$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.2

Élevez $- 0.\overline{3}$ à la puissance $5$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{- 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + 1 (\frac{0.00411522}{5})) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.5

Multipliez $\frac{0.00411522}{5}$ par $1$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (81 (\frac{0.00411522 + 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.7

Additionnez $0.00411522$ et $0.00411522$ .

$V = π (81 (\frac{0.00823045}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.8

Associez $81$ et $\frac{0.00823045}{5}$ .

$V = π (\frac{81 \cdot 0.00823045}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.9

Multipliez $81$ par $0.00823045$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.10

Élevez $0.\overline{3}$ à la puissance $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.11

Élevez $- 0.\overline{3}$ à la puissance $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{- 0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + 1 (\frac{0.03703703}{3})) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.14

Multipliez $\frac{0.03703703}{3}$ par $1$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 \frac{0.03703703 + 0.03703703}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.16

Additionnez $0.03703703$ et $0.03703703$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.07407407}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.17

Associez $- 18$ et $\frac{0.07407407}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 18 \cdot 0.07407407}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.18

Multipliez $- 18$ par $0.07407407$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.20

Pour écrire $\frac{0.66666666}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.21

Pour écrire $- \frac{1.33333333}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.22

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.4.22.1

Multipliez $\frac{0.66666666}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.22.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.22.3

Multipliez $\frac{1.33333333}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.22.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.24

Multipliez $0.66666666$ par $3$ .

$V = π (\frac{2 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.25

Multipliez $- 1.33333333$ par $5$ .

$V = π (\frac{2 - 6.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.26

Soustrayez $6.66666666$ de $2$ .

$V = π (\frac{- 4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.27

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Étape 11.4.28

Additionnez $0.\overline{3}$ et $0.\overline{3}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6})$

Étape 11.4.29

Pour écrire $0.\overline{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6} \cdot \frac{15}{15})$

Étape 11.4.30

Associez $0.\overline{6}$ et $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + \frac{0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

Étape 11.4.31

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

Étape 11.4.32

Multipliez $0.\overline{6}$ par $15$ .

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 10}{15})$

Étape 11.4.33

Additionnez $- 4.66666666$ et $10$ .

$V = π (\frac{5.33333333}{15})$

Étape 11.4.34

Associez $π$ et $\frac{5.33333333}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 5.33333333}{15}$

Étape 11.4.35

Multipliez $π$ par $5.33333333$ .

$V = \frac{16.75516081}{15}$

Étape 12

Divisez $16.75516081$ par $15$ .

$V = 1.11701072$

Étape 13