Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2}$ , $y = 1$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = x^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$V = 1 - {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 1 - x^{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$V = 1 - x^{4}$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{- 1}^{1} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{4} d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - x^{4} d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (x]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{4} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (x]_{- 1}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$V = π (x]_{- 1}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}))$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $x$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$V = π ((1) + 1 - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}))$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$V = π (1 + 1 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$V = π (2 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 7.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$V = π (2 - (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 7.2.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$V = π (2 - (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}))$

Étape 7.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (2 - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}))$

Étape 7.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = π (2 - (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})))$

Étape 7.2.3.6

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$V = π (2 - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}))$

Étape 7.2.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (2 - \frac{1 + 1}{5})$

Étape 7.2.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$V = π (2 - \frac{2}{5})$

Étape 7.2.3.9

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$V = π (2 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5})$

Étape 7.2.3.10

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 5}{5} - \frac{2}{5})$

Étape 7.2.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{2 \cdot 5 - 2}{5})$

Étape 7.2.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.12.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$V = π (\frac{10 - 2}{5})$

Étape 7.2.3.12.2

Soustrayez $2$ de $10$ .

$V = π (\frac{8}{5})$

Étape 7.2.3.13

Associez $π$ et $\frac{8}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 8}{5}$

Étape 7.2.3.14

Déplacez $8$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{8 π}{5}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{8 π}{5}$

Forme décimale :

$V = 5.02654824 \dots$

Étape 9