Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (4 y) = x$ , $(0, \frac{π}{8})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = \frac{π}{8}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cos (4 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 y$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 y$ .

$- \sin (4 y) \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (4 y) (4 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \sin (4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 4 \sin (4 y) y'$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 4 \sin (4 y) y' = 1$

Étape 1.5

Divisez chaque terme dans $- 4 \sin (4 y) y' = 1$ par $- 4 \sin (4 y)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \sin (4 y) y' = 1$ par $- 4 \sin (4 y)$ .

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Étape 1.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin (4 y)$ .

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Étape 1.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Étape 1.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.1

Séparez les fractions.

$y' = \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{\sin (4 y)}$

Étape 1.5.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (4 y)}$ à $\csc (4 y)$ .

$y' = \frac{1}{- 4} \csc (4 y)$

Étape 1.5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{4} \csc (4 y)$

Étape 1.5.3.4

Associez $\csc (4 y)$ et $\frac{1}{4}$ .

$y' = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 0$ sur $y = \frac{π}{8}$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$- \frac{\csc (4 y)}{4}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $\frac{π}{8}$ dans l’expression.

$- \frac{\csc (4 (\frac{π}{8}))}{4}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.7.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 (2)})}{4}$

Étape 1.7.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2})}{4}$

Étape 1.7.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\csc (\frac{π}{2})}{4}$

Étape 1.7.3.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{4}$ et un point donné, tel que $(0, \frac{π}{8})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{8}) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ .

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Étape 2.3.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot x$

Étape 2.3.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$y - \frac{π}{8} = - \frac{x}{4}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $\frac{π}{8}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{π}{8}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{π}{8}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{π}{8}$

Étape 3