Calcul infinitésimal Exemples

$\tan^{3} (θ)$

Étape 1

Écrivez $\tan^{3} (θ)$ comme une fonction.

$f (θ) = \tan^{3} (θ)$

Étape 2

La fonction $F (θ)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (θ) = \int \tan^{3} (θ) d θ$

Étape 4

Factorisez $\tan^{2} (θ)$ .

$\int \tan^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (θ)$ comme $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (θ)) \tan (θ) d θ$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$\int - 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Étape 9

L’intégrale de $\tan (θ)$ par rapport à $θ$ est $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Étape 10

Laissez $u = \sec (θ)$ . Alors $d u = \sec (θ) \tan (θ) d θ$ , donc $\frac{1}{\sec (θ) \tan (θ)} d u = d θ$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.1

Laissez $u = \sec (θ)$ . Déterminez $\frac{d u}{d θ}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $\sec (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Étape 10.1.2

La dérivée de $\sec (θ)$ par rapport à $θ$ est $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ)$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int u d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Étape 12

Simplifiez

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (θ)$ .

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (θ) = \tan^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$