Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{50 - \frac{x}{2}}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{50 - \frac{x}{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{50 - \frac{x}{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{50 - \frac{x}{2}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 50 - \frac{x}{2}$ . Alors $d u = - \frac{1}{2} d x$ , donc $- 2 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 50 - \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $50 - \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [50 - \frac{x}{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $50 - \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 4.1.2.2

Comme $50$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $50$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Étape 4.1.4

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - \sqrt{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

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Étape 5.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\int - \sqrt{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int - \sqrt{u} (1 \cdot 2) d u$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int - \sqrt{u} \cdot 2 d u$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int - 2 \sqrt{u} d u$

Étape 6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int \sqrt{u} d u$

Étape 7

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Réécrivez $- 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $- 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2

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Étape 9.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $50 - \frac{x}{2}$ .

$- \frac{4}{3} {(50 - \frac{x}{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{4}{3} {(50 - \frac{1}{2} x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{50 - \frac{x}{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{3} {(50 - \frac{1}{2} x)}^{\frac{3}{2}} + C$