Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 4.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 4.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Laissez $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Alors $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 5.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 5.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 5.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 5.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 5.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 5.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 5.1.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.1.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\int - 2 e^{u} d u$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int e^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

Étape 9

Simplifiez

$- 2 e^{u} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 e^{- x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- x^{\frac{1}{2}}} + C$