Calcul infinitésimal Exemples

$16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 4

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$16 \int \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 5

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (x)$ en $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$16 \int \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 6

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (x)$ en $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$16 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ par $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$16 \int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$16 \int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$16 (\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $16$ .

$\frac{16}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Étape 9.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Étape 10

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$4 \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Étape 12

Simplifiez en multipliant.

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Étape 12.1

Simplifiez

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 12.1.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 12.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 12.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 12.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 12.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 12.1.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 12.2

Développez $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

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Étape 12.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 12.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 12.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 12.2.4

Déplacez $\cos (u_{1})$ .

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 12.2.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 12.2.6

Multipliez $\cos (u_{1})$ par $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 12.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 12.2.8

Factorisez le signe négatif.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 12.2.9

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 12.2.10

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Étape 12.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Étape 12.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 12.2.13

Soustrayez $\cos (u_{1})$ de $\cos (u_{1})$ .

$2 \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 12.2.14

Soustrayez $\cos^{2} (u_{1})$ de $0$ .

$2 \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 13

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 16

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 17

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Étape 18

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Étape 19

Appliquez la règle de la constante.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Étape 20

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 20.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 20.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 20.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 20.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 20.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 20.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Étape 21

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Étape 22

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Étape 23

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

Étape 24

Simplifiez

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Étape 24.1

Simplifiez

$2 (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 24.2

Simplifiez

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Étape 24.2.1

Pour écrire $u_{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 24.2.2

Associez $u_{1}$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 24.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 24.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$2 (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 24.2.5

Soustrayez $u_{1}$ de $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 25

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 25.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 25.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

Étape 25.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Étape 26

Simplifiez

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Étape 26.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 26.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 26.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Étape 26.1.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$2 (x - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Étape 26.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (x - \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Étape 26.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 2 (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Étape 26.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 26.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin (4 x)}{4}$ dans le numérateur.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{4} + C$

Étape 26.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{2 (2)} + C$

Étape 26.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 26.3.4

Réécrivez l’expression.

$2 x + \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Étape 26.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x - \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Étape 27

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x) + C$

Étape 28

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x) + C$