Calcul infinitésimal Exemples

$1 + \sqrt{2 x - 3}$

Étape 1

Écrivez $1 + \sqrt{2 x - 3}$ comme une fonction.

$f (x) = 1 + \sqrt{2 x - 3}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 1 + \sqrt{2 x - 3} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int \sqrt{2 x - 3} d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int \sqrt{2 x - 3} d x$

Étape 6

Laissez $u = 2 x - 3$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = 2 x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 6.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 6.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 6.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C + \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 7

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + \frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 9

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$x + C + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$x + C + \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$x + \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x + \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 11.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x + \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x + \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 3$ .

$x + \frac{1}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 1 + \sqrt{2 x - 3}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}} + C$