Calcul infinitésimal Exemples

$- 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$

Étape 1

Écrivez $- 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$ comme une fonction.

$f (x) = - 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int - 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 3 e^{- \frac{1}{3} x} d x + \int C d x$

Étape 5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 \int e^{- \frac{1}{3} x} d x + \int C d x$

Étape 6

Laissez $u = - \frac{1}{3} x$ . Alors $d u = - \frac{1}{3} d x$ , donc $- 3 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = - \frac{1}{3} x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $- \frac{1}{3} x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x]$

Étape 6.1.2

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{3} x$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- 3 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u + \int C d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$- 3 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u + \int C d x$

Étape 7.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$- 3 \int - e^{u} (1 \cdot 3) d u + \int C d x$

Étape 7.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 3 \int - e^{u} \cdot 3 d u + \int C d x$

Étape 7.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 \int - 3 e^{u} d u + \int C d x$

Étape 8

Comme $- 3$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 (- 3 \int e^{u} d u) + \int C d x$

Étape 9

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$9 \int e^{u} d u + \int C d x$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$9 (e^{u} + C) + \int C d x$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$9 (e^{u} + C) + C x + C$

Étape 12

Simplifiez

$9 e^{u} + C x + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{1}{3} x$ .

$9 e^{- \frac{1}{3} x} + C x + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = - 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$ .

$F (x) =$ $9 e^{- \frac{1}{3} x} + C x + C$