Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

Étape 1

Écrivez $x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Étape 4

Laissez $x = \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ est positif.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5

Simplifiez $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Étape 5.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 6

Multipliez $\sec (t)$ par $\sec^{2} (t)$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $\sec^{2} (t)$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Étape 6.2

Multipliez $\sec^{2} (t)$ par $\sec (t)$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Étape 6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 7

Factorisez $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 8

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 9

Laissez $u = \sec (t)$ . Alors $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , donc $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = \sec (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Étape 9.1.2

La dérivée de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Étape 10

Multipliez $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Réécrivez $- 1 u^{2}$ comme $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 11.2

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 11.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Étape 13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 16.2

Simplifiez

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 17

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 17.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (t)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t) + C$

Étape 17.2

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (x)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$