Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 - \ln (x) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (x) = - 1$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $- \ln (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Étape 2.3.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\ln (x) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Étape 2.3.5

Réécrivez l’équation comme $x = e^{1}$ .

$x = e$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 3.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 4

Évaluez $\frac{\ln (x)}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = e$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $e$ .

$\frac{\ln (e)}{e}$

Étape 4.1.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{1}{e}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{\ln (0)}{0}$

Étape 4.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(e, \frac{1}{e})$

Étape 5