Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 8 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ comme ${(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{3} + 8 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} + 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 8 x$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Étape 1.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x])$

Étape 1.1.10

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8 \cdot 1)$

Étape 1.1.12

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8)$

Étape 1.1.13

Simplifiez

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Étape 1.1.13.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8)$ .

$(3 x^{2} + 8) \frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.13.2

Multipliez $3 x^{2} + 8$ par $\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x^{2} + 8 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = - 8$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 8$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 8$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 8}{3}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 8}{3}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{3}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{8}{3}$

Étape 2.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{8}{3}}$

Étape 2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{8}{3}}$ .

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{8}{3}}$

Étape 2.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{8}{3}}$

Étape 2.3.4.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{8}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.4.4.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.3.4.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.4.4.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.4.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.4.5

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 2.3.4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.4.6.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.3.4.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.3.4.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.3.4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.3.4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.3.4.6.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.3.4.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3.4.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.4.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.4.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.4.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.3.4.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.4.7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Étape 2.3.4.7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.4.8

Associez les fractions.

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Étape 2.3.4.8.1

Associez $i$ et $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{6})}{3}$

Étape 2.3.4.8.2

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 i \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{{(x^{3} + 8 x)}^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{x^{3} + 8 x}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{x^{3} + 8 x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{x^{3} + 8 x} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x^{3} + 8 x})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ comme ${(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{1} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.4

Simplifiez

$4 (x^{3} + 8 x) = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{3} + 4 (8 x) = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.6

Multipliez $8$ par $4$ .

$4 x^{3} + 32 x = 0^{2}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x^{3} + 32 x = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} + 32 x$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 32 x = 0$

Étape 3.3.3.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $32 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (8) = 0$

Étape 3.3.3.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (8)$ .

$4 x (x^{2} + 8) = 0$

Étape 3.3.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 8 = 0$

Étape 3.3.3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3.3.4

Définissez $x^{2} + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.4.1

Définissez $x^{2} + 8$ égal à $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Étape 3.3.3.4.2

Résolvez $x^{2} + 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.4.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 8$

Étape 3.3.3.4.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Étape 3.3.3.4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 8}$ .

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Étape 3.3.3.4.2.3.1

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Étape 3.3.3.4.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Étape 3.3.3.4.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Étape 3.3.3.4.2.3.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.3.3.4.2.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Étape 3.3.3.4.2.3.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.3.4.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Étape 3.3.3.4.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Étape 3.3.3.4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.3.4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Étape 3.3.3.4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Étape 3.3.3.4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Étape 3.3.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x^{2} + 8) = 0$ vraie.

$x = 0, 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Étape 3.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} + 8 x < 0$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} + 8 x = 0$

Étape 3.5.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 8 x$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 8 x = 0$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $8 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 8 = 0$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot 8$ .

$x (x^{2} + 8) = 0$

Étape 3.5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 8 = 0$

Étape 3.5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5.5

Définissez $x^{2} + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.5.1

Définissez $x^{2} + 8$ égal à $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Étape 3.5.5.2

Résolvez $x^{2} + 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.5.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 8$

Étape 3.5.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Étape 3.5.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 8}$ .

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Étape 3.5.5.2.3.1

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Étape 3.5.5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Étape 3.5.5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Étape 3.5.5.2.3.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.5.5.2.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Étape 3.5.5.2.3.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 3.5.5.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Étape 3.5.5.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Étape 3.5.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Étape 3.5.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Étape 3.5.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Étape 3.5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x^{2} + 8) = 0$ vraie.

$x = 0, 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Étape 3.5.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$

Étape 3.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 4

Évaluez $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sqrt{{(0)}^{3} + 8 (0)}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sqrt{0 + 8 (0)}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$\sqrt{0 + 0}$

Étape 4.1.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\sqrt{0}$

Étape 4.1.2.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Étape 4.1.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$0$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(0, 0)$

Étape 5