Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \tan (\frac{π x}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π x}{2}$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.2

Associez $\frac{π}{2}$ et $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ par $π$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ par $π$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ par $1$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = \frac{0}{π}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $π$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

Étape 2.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm 0$

Étape 2.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\sec (\frac{π x}{2}) = 0$

Étape 2.3.4

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\sec (\frac{π x}{2})$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 3.2.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 3.2.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 3.2.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1

Simplifiez $\frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

Étape 3.2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

Étape 3.2.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

Étape 3.2.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

Étape 3.2.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

Étape 3.2.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1.4.1

Factorisez $π$ à partir de $π n$ .

$x = 1 + \frac{2}{π} (π (n))$

Étape 3.2.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

Étape 3.2.2.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$x = 1 + 2 n$

Étape 3.2.3

Remettez dans l’ordre $1$ et $2 n$ .

$x = 2 n + 1$

Étape 3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${x | x = 2 n + 1}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé