Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = | 3 x - 4 |$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 3 x - 4$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 4$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + 0)$

Étape 1.1.2.6

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \cdot 3$

Étape 1.1.2.6.2

Associez $\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |}$ et $3$ .

$\frac{(3 x - 4) \cdot 3}{| 3 x - 4 |}$

Étape 1.1.2.6.3

Déplacez $3$ à gauche de $3 x - 4$ .

$\frac{3 \cdot (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 x + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

Étape 1.1.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{9 x - 12}{| 3 x - 4 |}$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $3$ à partir de $9 x - 12$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x$ .

$\frac{3 (3 x) - 12}{| 3 x - 4 |}$

Étape 1.1.3.3.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$\frac{3 (3 x) + 3 (- 4)}{| 3 x - 4 |}$

Étape 1.1.3.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 x) + 3 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 (3 x - 4) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 (3 x - 4) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $3 (3 x - 4) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $3 x - 4$ par $1$ .

$3 x - 4 = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$3 x - 4 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 2.3.3

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 2.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| 3 x - 4 | = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$3 x - 4 = \pm 0$

Étape 3.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Étape 3.2.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 3.2.4

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.4.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 4

Évaluez $| 3 x - 4 |$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{4}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{4}{3}$ .

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Étape 4.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 4 - 4 |$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$| 0 |$

Étape 4.1.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$0$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{4}{3}, 0)$

Étape 5