Calcul infinitésimal Exemples

$g (y) = \frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = y - 4$ et $g (y) = y^{2} - 2 y + 8$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \frac{d}{d y} [y - 4] - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 4$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + 0) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \cdot 1 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $y^{2} - 2 y + 8$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 2 y + 8$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $8$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + 0)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.11

Additionnez $2 y - 2$ et $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y - - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y + 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Développez $(- y + 4) (2 y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y - 2) + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.6

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.2

Additionnez $2 y$ et $8 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Associez les termes opposés dans $y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8$ .

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Étape 1.1.3.2.2.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y + 0}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2.2

Additionnez $y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y$ et $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.3

Soustrayez $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - 2 y + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.4

Additionnez $- 2 y$ et $10 y$ .

$\frac{- y^{2} + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} + 8 y$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $8 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y) + y \cdot 8$ .

$\frac{y (- y + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 8)$ .

$\frac{y (- (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.7

Réécrivez $- (y - 8)$ comme $- 1 (y - 8)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (y) = - \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $g (y)$ par rapport à $y$ est $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$y (y - 8) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$y - 8 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3.3

Définissez $y - 8$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $y - 8$ égal à $0$ .

$y - 8 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 8$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $y (y - 8) = 0$ vraie.

$y = 0, 8$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$ sur chaque valeur $y$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $y = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $y$ par $0$ .

$\frac{(0) - 4}{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Soustrayez $4$ de $0$ .

$\frac{- 4}{0^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{- 4}{0 - 2 \cdot 0 + 8}$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 0 + 8}$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 8}$

Étape 4.1.2.2.4

Additionnez $0$ et $8$ .

$\frac{- 4}{8}$

Étape 4.1.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $8$ .

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Étape 4.1.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{8}$

Étape 4.1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2}$

Étape 4.1.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $y = 8$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $y$ par $8$ .

$\frac{(8) - 4}{{(8)}^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $4$ de $8$ .

$\frac{4}{8^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{64 - 2 \cdot 8 + 8}$

Étape 4.2.2.2.2

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$\frac{4}{64 - 16 + 8}$

Étape 4.2.2.2.3

Soustrayez $16$ de $64$ .

$\frac{4}{48 + 8}$

Étape 4.2.2.2.4

Additionnez $48$ et $8$ .

$\frac{4}{56}$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $56$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (1)}{56}$

Étape 4.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $56$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

Étape 4.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

Étape 4.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{14}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, - \frac{1}{2}), (8, \frac{1}{14})$

Étape 5