Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.4.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 1.1.4.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$2 (1 + \ln (x))$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (x)$

Étape 1.1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 \ln (x)$

Étape 1.1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 \ln (x) + 2$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 \ln (x) + 2$ .

$2 \ln (x) + 2$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 \ln (x) + 2 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 \ln (x) + 2 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 \ln (x) = - 2$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 \ln (x) = - 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 \ln (x) = - 2$ par $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$\ln (x) = - 1$

Étape 2.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Étape 2.5

Réécrivez $\ln (x) = - 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Étape 2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 3.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 4

Évaluez $2 x \ln (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{e}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{e}$ .

$2 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e} \ln (\frac{1}{e})$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{e}$ comme $1 e^{- 1}$ .

$\frac{2}{e} \ln (1 e^{- 1})$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez $\ln (1 e^{- 1})$ comme $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Étape 4.1.2.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$\frac{2}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

Étape 4.1.2.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) - 1)$

Étape 4.1.2.7

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{2}{e} (0 - 1)$

Étape 4.1.2.8

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{2}{e} \cdot - 1$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $\frac{2}{e} \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Associez $\frac{2}{e}$ et $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{e}$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{e}$

Étape 4.1.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{e}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$2 (0) \ln (0)$

Étape 4.2.2

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{e}, - \frac{2}{e})$

Étape 5