Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 8$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.3.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.3.4

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.3.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x^{2} + x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} + x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x^{2} + x - 2 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} + x - 2 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $x^{2} + x - 2$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} + x - 2$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} + x - 2$ .

$x^{2} + x - 2$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} + x - 2 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} + x - 2 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) (x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 1, - 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 8$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{{(1)}^{3}}{3} + \frac{{(1)}^{2}}{2} - 2 \cdot 1 + 8$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} + \frac{{(1)}^{2}}{2} - 2 \cdot 1 + 8$

Étape 4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 + 8$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 + 8$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} - 2 + 8$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} - 2 + 8$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - 2 + 8$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} - 2 + 8$

Étape 4.1.2.2.5

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2}{1} + 8$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{6}{6} + 8$

Étape 4.1.2.2.7

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + 8$

Étape 4.1.2.2.8

Écrivez $8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8}{1}$

Étape 4.1.2.2.9

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 4.1.2.2.10

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8 \cdot 6}{6}$

Étape 4.1.2.2.11

Réorganisez les facteurs de $3 \cdot 2$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8 \cdot 6}{6}$

Étape 4.1.2.2.12

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8 \cdot 6}{6}$

Étape 4.1.2.2.13

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8 \cdot 6}{6}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + 3 - 2 \cdot 6 + 8 \cdot 6}{6}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$\frac{2 + 3 - 12 + 8 \cdot 6}{6}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $8$ par $6$ .

$\frac{2 + 3 - 12 + 48}{6}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.5.1

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{5 - 12 + 48}{6}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $12$ de $5$ .

$\frac{- 7 + 48}{6}$

Étape 4.1.2.5.3

Additionnez $- 7$ et $48$ .

$\frac{41}{6}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{3} + \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.3

Annulez le facteur commun à ${(- 2)}^{2}$ et $2$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (2)$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1 \cdot 2^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.3.4

Multipliez $2^{2}$ par $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 2 \cdot - 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 2 \cdot - 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{8}{3} + \frac{2}{1} - 2 \cdot - 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.3.6.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- \frac{8}{3} + 2 - 2 \cdot - 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- \frac{8}{3} + 2 + 4 + 8$

Étape 4.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.2.2.2.1

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2}{1} + 4 + 8$

Étape 4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4 + 8$

Étape 4.2.2.2.3

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + 4 + 8$

Étape 4.2.2.2.4

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} + 8$

Étape 4.2.2.2.5

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 8$

Étape 4.2.2.2.6

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 8$

Étape 4.2.2.2.7

Écrivez $8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1}$

Étape 4.2.2.2.8

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.2.2.2.9

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 8 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.4.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{- 8 + 6 + 4 \cdot 3 + 8 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.2.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{- 8 + 6 + 12 + 8 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.2.4.3

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{- 8 + 6 + 12 + 24}{3}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.5.1

Additionnez $- 8$ et $6$ .

$\frac{- 2 + 12 + 24}{3}$

Étape 4.2.2.5.2

Additionnez $- 2$ et $12$ .

$\frac{10 + 24}{3}$

Étape 4.2.2.5.3

Additionnez $10$ et $24$ .

$\frac{34}{3}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(1, \frac{41}{6}), (- 2, \frac{34}{3})$

Étape 5