Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(1 + 5 x)}^{10}$ , $(0, 1)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(1 + 5 x)}^{10})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{10}$ et $g (y) = 1 + 5 x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d y} [1 + 5 x]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 10$ .

$10 u^{9} \frac{d}{d y} [1 + 5 x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 5 x$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} \frac{d}{d y} [1 + 5 x]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 5 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [5 x]$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [5 x])$

Étape 3.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} (0 + \frac{d}{d y} [5 x])$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [5 x]$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} \frac{d}{d y} [5 x]$

Étape 3.2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $y$ est $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} (5 \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.2.5

Multipliez $5$ par $10$ .

$50 {(1 + 5 x)}^{9} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$50 {(1 + 5 x)}^{9} x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 50 {(1 + 5 x)}^{9} x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$ .

$50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$ par $50 {(1 + 5 x)}^{9}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$ par $50 {(1 + 5 x)}^{9}$ .

$\frac{50 {(1 + 5 x)}^{9} x'}{50 {(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $50$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{50 {(1 + 5 x)}^{9} x'}{50 {(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(1 + 5 x)}^{9} x'}{{(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de ${(1 + 5 x)}^{9}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 + 5 x)}^{9} x'}{{(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Étape 7

Remplacez $x$ par $0$ et $y$ par $1$ dans l’expression.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{50 {(1 + 5 (0))}^{9}}$

Étape 8

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1}{50 {(1 + 0)}^{9}}$

Étape 8.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{50 \cdot 1^{9}}$

Étape 8.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{50 \cdot 1}$

Étape 8.2

Multipliez $50$ par $1$ .

$\frac{1}{50}$