Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 + 4 e^{0.5 x}$ , $[- 3, 3]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$8 + 4 e^{0.5 x} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $8 + 4 e^{0.5 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$4 e^{0.5 x} = - 8$

Étape 1.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4 e^{0.5 x}) = \ln (- 8)$

Étape 1.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 8)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 1.2.4

Il n’y a pas de solution pour $4 e^{0.5 x} = - 8$

Aucune solution

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x - \int_{- 3}^{3} 0 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 3$ et $3$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} - (0) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $0$ de $8 + 4 e^{0.5 x}$ .

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 3}^{3} 8 d x + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Étape 3.4

Appliquez la règle de la constante.

$8 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Étape 3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 3}^{3} e^{0.5 x} d x$

Étape 3.6

Laissez $u = 0.5 x$ . Alors $d u = 0.5 d x$ , donc $\frac{1}{0.5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.6.1

Laissez $u = 0.5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.6.1.1

Différenciez $0.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

Étape 3.6.1.2

Comme $0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.5 x$ par rapport à $x$ est $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0.5 \cdot 1$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $0.5$ par $1$ .

$0.5$

Étape 3.6.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 0.5 x$ .

$u_{lower} = 0.5 \cdot - 3$

Étape 3.6.3

Multipliez $0.5$ par $- 3$ .

$u_{lower} = - 1.5$

Étape 3.6.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 0.5 x$ .

$u_{upper} = 0.5 \cdot 3$

Étape 3.6.5

Multipliez $0.5$ par $3$ .

$u_{upper} = 1.5$

Étape 3.6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1.5$

$u_{upper} = 1.5$

Étape 3.6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} \frac{1}{0.5} d u$

Étape 3.7

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{0.5}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} \frac{e^{u}}{0.5} d u$

Étape 3.8

Comme $\frac{1}{0.5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{0.5}$ en dehors de l’intégrale.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 (\frac{1}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u)$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{0.5}$ et $4$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u$

Étape 3.10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Étape 3.11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.11.1

Évaluez $8 x$ sur $3$ et sur $- 3$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Étape 3.11.2

Évaluez $e^{u}$ sur $1.5$ et sur $- 1.5$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Étape 3.11.3

Simplifiez

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Étape 3.11.3.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$24 - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Étape 3.11.3.2

Multipliez $- 8$ par $- 3$ .

$24 + 24 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Étape 3.11.3.3

Additionnez $24$ et $24$ .

$48 + \frac{4}{0.5} (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Étape 3.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.1

Divisez $4$ par $0.5$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Étape 3.12.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - \frac{1}{e^{1.5}})$

Étape 3.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$48 + 8 e^{1.5} + 8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$

Étape 3.12.4

Multipliez $8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$ .

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Étape 3.12.4.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$48 + 8 e^{1.5} - 8 \frac{1}{e^{1.5}}$

Étape 3.12.4.2

Associez $- 8$ et $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$48 + 8 e^{1.5} + \frac{- 8}{e^{1.5}}$

Étape 3.12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$48 + 8 e^{1.5} - \frac{8}{e^{1.5}}$

Étape 4