Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ comme une équation.

$y = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{3 - e^{2 y}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$ .

$\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 - e^{2 y}}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 - e^{2 y}}$ comme ${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 - e^{2 y})}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$3 - e^{2 y} = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- e^{2 y} = x^{2} - 3$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- e^{2 y} = x^{2} - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- e^{2 y} = x^{2} - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{2 y}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{2 y}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Divisez $e^{2 y}$ par $1$ .

$e^{2 y} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$e^{2 y} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$e^{2 y} = - x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.4.2.3.1.3

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$e^{2 y} = - x^{2} + 3$

Étape 3.4.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (- x^{2} + 3)$

Étape 3.4.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.1

Développez $\ln (e^{2 y})$ en déplaçant $2 y$ hors du logarithme.

$2 y \ln (e) = \ln (- x^{2} + 3)$

Étape 3.4.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (- x^{2} + 3)$

Étape 3.4.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 y = \ln (- x^{2} + 3)$

Étape 3.4.5

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Étape 3.4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Étape 3.4.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \frac{\ln (- {(\sqrt{3 - e^{2 x}})}^{2} + 3)}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez ${\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2}$ comme $3 - e^{2 x}$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 - e^{2 x}}$ comme ${(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {({(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.4.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 1 \cdot 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.4.4

Multipliez $- - e^{2 x}$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + 1 e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.4.4.2

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $- 3 + e^{2 x} + 3$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(0 + e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $0$ et $e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2.5.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Étape 5.2.5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Étape 5.2.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Étape 5.2.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{x})$

Étape 5.2.6

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \ln (e)$

Étape 5.2.7

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \cdot 1$

Étape 5.2.8

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{\ln (- x^{2} + 3)}}$

Étape 5.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - (- x^{2} + 3)}$

Étape 5.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 1 \cdot 3}$

Étape 5.3.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 3}$

Étape 5.3.7

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Étape 5.3.8

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$