Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{13 x}{1 + 0.25 x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{13 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $13 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 + 0.25 x^{2}$ .

$13 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$13 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $1 + 0.25 x^{2}$ par $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 0.25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.6

Comme $0.25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.7

Multipliez $0.25$ par $- 1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.9

Multipliez $2$ par $- 0.25$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.8

Soustrayez $0.5 x^{2}$ de $0.25 x^{2}$ .

$13 \frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.9

Associez $13$ et $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{13 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{13 \cdot 1 + 13 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.10.2.1

Multipliez $13$ par $1$ .

$\frac{13 + 13 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.10.2.2

Multipliez $- 0.25$ par $13$ .

$\frac{13 - 3.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3.25 x^{2} + 13}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.10.4.1

Factorisez $3.25$ à partir de $- 3.25 x^{2} + 13$ .

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Étape 1.10.4.1.1

Factorisez $3.25$ à partir de $- 3.25 x^{2}$ .

$\frac{3.25 (- x^{2}) + 13}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.4.1.2

Factorisez $3.25$ à partir de $13$ .

$\frac{3.25 (- x^{2}) + 3.25 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.4.1.3

Factorisez $3.25$ à partir de $3.25 (- x^{2}) + 3.25 (4)$ .

$\frac{3.25 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3.25 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.4.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $2^{2}$ .

$\frac{3.25 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.10.5.1

Factorisez $0.25$ à partir de $0.25 x^{2} + 1$ .

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Étape 1.10.5.1.1

Factorisez $0.25$ à partir de $0.25 x^{2}$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.5.1.2

Factorisez $0.25$ à partir de $1$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

Étape 1.10.5.1.3

Factorisez $0.25$ à partir de $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Étape 1.10.5.2

Appliquez la règle de produit à $0.25 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.10.5.3

Élevez $0.25$ à la puissance $2$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.10.6

Factorisez $3.25$ à partir de $3.25 (2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{3.25 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.10.7

Factorisez $0.0625$ à partir de $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{3.25 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

Étape 1.10.8

Séparez les fractions.

$\frac{3.25}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.10.9

Divisez $3.25$ par $0.0625$ .

$52 \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.10.10

Associez $52$ et $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $52$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $52 \frac{d}{d x} [\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 52 \frac{d}{d x} (\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Étape 2.2

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 + x$ et $g (x) = 2 - x$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (2 - x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.5.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.5.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- 1 \cdot 1) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \cdot - 1 + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.5.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $2 + x$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 1 \cdot (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.5.6.3

Réécrivez $- 1 (2 + x)$ comme $- (2 + x)$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.5.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.5.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.5.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.5.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \cdot 1) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.5.11

Multipliez $2 - x$ par $1$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.7.2

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

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Étape 2.7.2.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x)$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.7.2.2

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $- 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.7.2.3

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 2.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 2.8.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 2.8.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 2.11

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 2.12

Associez les fractions.

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Étape 2.12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 2.12.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 2.12.3

Associez $52$ et $\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) + (- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- 2 - x + 2 - x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.2

Associez les termes opposés dans $- 2 - x + 2 - x$ .

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Étape 2.13.4.1.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- x + 0 - x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.2.2

Additionnez $- x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- x - x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- 2 x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{52 (x^{2} (- 2 x) + 4 (- 2 x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 x^{2} x + 4 (- 2 x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.6

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 x^{2} x - 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.4.1.7.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.7.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.4.1.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 x^{1 + 2} - 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 x^{3} - 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 x^{3}) + 52 (- 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.9

Multipliez $- 2$ par $52$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} + 52 (- 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.10

Multipliez $- 8$ par $52$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.11

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 8 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.12

Développez $(- 8 - 4 x) (2 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.13.4.1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 8 (2 - x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.13.4.1.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.4.1.13.1.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.13.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 8 x - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.13.1.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.13.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x \cdot x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.13.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.4.1.13.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x))) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.13.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x^{2})) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.13.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 8 x - 8 x + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.13.2

Soustrayez $8 x$ de $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 0 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.13.3

Additionnez $- 16$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 (- 16 x + 4 x^{2} x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.15

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.4.1.15.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.15.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.13.4.1.15.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.15.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 (- 16 x + 4 x^{1 + 2})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.15.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 (- 16 x + 4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.16

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 (- 16 x) + 52 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.17

Multipliez $- 16$ par $52$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x - 832 x + 52 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.1.18

Multipliez $4$ par $52$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x - 832 x + 208 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.2

Additionnez $- 104 x^{3}$ et $208 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{104 x^{3} - 416 x - 832 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.3

Soustrayez $832 x$ de $- 416 x$ .

$f'' (x) = \frac{104 x^{3} - 1248 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.5

Factorisez $104 x$ à partir de $104 x^{3} - 1248 x$ .

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Étape 2.13.5.1

Factorisez $104 x$ à partir de $104 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{104 x (x^{2}) - 1248 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.5.2

Factorisez $104 x$ à partir de $- 1248 x$ .

$f'' (x) = \frac{104 x (x^{2}) + 104 x (- 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.5.3

Factorisez $104 x$ à partir de $104 x (x^{2}) + 104 x (- 12)$ .

$f'' (x) = \frac{104 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{13 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $13 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$

Étape 4.1.2

$13 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$13 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $1 + 0.25 x^{2}$ par $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 0.25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.3.6

Comme $0.25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.3.7

Multipliez $0.25$ par $- 1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.3.9

Multipliez $2$ par $- 0.25$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.8

Soustrayez $0.5 x^{2}$ de $0.25 x^{2}$ .

$13 \frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.9

Associez $13$ et $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{13 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.10

Simplifiez

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Étape 4.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{13 \cdot 1 + 13 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.10.2.1

Multipliez $13$ par $1$ .

$\frac{13 + 13 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.10.2.2

Multipliez $- 0.25$ par $13$ .

$\frac{13 - 3.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3.25 x^{2} + 13}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.10.4.1

Factorisez $3.25$ à partir de $- 3.25 x^{2} + 13$ .

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Étape 4.1.10.4.1.1

Factorisez $3.25$ à partir de $- 3.25 x^{2}$ .

$\frac{3.25 (- x^{2}) + 13}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.10.4.1.2

Factorisez $3.25$ à partir de $13$ .

$\frac{3.25 (- x^{2}) + 3.25 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.10.4.1.3

Factorisez $3.25$ à partir de $3.25 (- x^{2}) + 3.25 (4)$ .

$\frac{3.25 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.10.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3.25 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.10.4.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $2^{2}$ .

$\frac{3.25 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.10.4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.10.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.10.5.1

Factorisez $0.25$ à partir de $0.25 x^{2} + 1$ .

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Étape 4.1.10.5.1.1

Factorisez $0.25$ à partir de $0.25 x^{2}$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.10.5.1.2

Factorisez $0.25$ à partir de $1$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

Étape 4.1.10.5.1.3

Factorisez $0.25$ à partir de $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Étape 4.1.10.5.2

Appliquez la règle de produit à $0.25 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.10.5.3

Élevez $0.25$ à la puissance $2$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.10.6

Factorisez $3.25$ à partir de $3.25 (2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{3.25 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.10.7

Factorisez $0.0625$ à partir de $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{3.25 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

Étape 4.1.10.8

Séparez les fractions.

$\frac{3.25}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.10.9

Divisez $3.25$ par $0.0625$ .

$52 \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.10.10

Associez $52$ et $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$52 (2 + x) (2 - x) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Étape 5.3.2

Définissez $2 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Définissez $2 + x$ égal à $0$ .

$2 + x = 0$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5.3.3

Définissez $2 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Définissez $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 5.3.3.2

Résolvez $2 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 5.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.3.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 5.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $52 (2 + x) (2 - x) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 2, 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{104 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $104$ par $- 2$ .

$\frac{- 208 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 208 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{- 208 ({(- 2)}^{2} - 12)}{8^{3}}$

Étape 9.2.3

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 208 ({(- 2)}^{2} - 12)}{512}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 208 (4 - 12)}{512}$

Étape 9.3.2

Soustrayez $12$ de $4$ .

$\frac{- 208 \cdot - 8}{512}$

Étape 9.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Multipliez $- 208$ par $- 8$ .

$\frac{1664}{512}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun à $1664$ et $512$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.2.1

Factorisez $128$ à partir de $1664$ .

$\frac{128 (13)}{512}$

Étape 9.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.2.2.1

Factorisez $128$ à partir de $512$ .

$\frac{128 \cdot 13}{128 \cdot 4}$

Étape 9.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{128 \cdot 13}{128 \cdot 4}$

Étape 9.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{13}{4}$

Étape 10

$x = - 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{13 (- 2)}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Multipliez $13$ par $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 26}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 26}{1 + 0.25 \cdot 4}$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $0.25$ par $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 26}{1 + 1}$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 26}{2}$

Étape 11.2.3

Divisez $- 26$ par $2$ .

$f (- 2) = - 13$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $- 13$ .

$y = - 13$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{104 (2) ({(2)}^{2} - 12)}{{({(2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $104$ par $2$ .

$\frac{208 (2^{2} - 12)}{{(2^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{208 (2^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{208 (2^{2} - 12)}{8^{3}}$

Étape 13.2.3

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{208 (2^{2} - 12)}{512}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{208 (4 - 12)}{512}$

Étape 13.3.2

Soustrayez $12$ de $4$ .

$\frac{208 \cdot - 8}{512}$

Étape 13.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.4.1

Multipliez $208$ par $- 8$ .

$\frac{- 1664}{512}$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun à $- 1664$ et $512$ .

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Étape 13.4.2.1

Factorisez $128$ à partir de $- 1664$ .

$\frac{128 (- 13)}{512}$

Étape 13.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.2.2.1

Factorisez $128$ à partir de $512$ .

$\frac{128 \cdot - 13}{128 \cdot 4}$

Étape 13.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{128 \cdot - 13}{128 \cdot 4}$

Étape 13.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 13}{4}$

Étape 13.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{13}{4}$

Étape 14

$x = 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{13 (2)}{1 + 0.25 {(2)}^{2}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Multipliez $13$ par $2$ .

$f (2) = \frac{26}{1 + 0.25 \cdot 2^{2}}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \frac{26}{1 + 0.25 \cdot 4}$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $0.25$ par $4$ .

$f (2) = \frac{26}{1 + 1}$

Étape 15.2.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (2) = \frac{26}{2}$

Étape 15.2.3

Divisez $26$ par $2$ .

$f (2) = 13$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $13$ .

$y = 13$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{13 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ .

$(- 2, - 13)$ est un minimum local

$(2, 13)$ est un maximum local

Étape 17