Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + \frac{480}{x}$

Étape 1

Écrivez $x^{2} + \frac{480}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} + \frac{480}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \frac{480}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $480$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{480}{x}$ par rapport à $x$ est $480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x + 480 (- x^{- 2})$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 1$ par $480$ .

$2 x - 480 x^{- 2}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 480 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.3.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.2.1

Associez $- 480$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 480}{x^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x - \frac{480}{x^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \frac{480}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{480}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{480}{x^{2}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 480$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{480}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 480 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 3.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 3.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Étape 3.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 3.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 x^{- 3})$

Étape 3.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 480$ .

$f'' (x) = 2 + 960 x^{- 3}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 960 (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 3.4.2

Associez $960$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{960}{x^{3}}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{960}{x^{3}} + 2$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \frac{480}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $480$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{480}{x}$ par rapport à $x$ est $480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x + 480 (- x^{- 2})$

Étape 5.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $480$ .

$2 x - 480 x^{- 2}$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 480 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5.1.3.2

Associez des termes.

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Étape 5.1.3.2.1

Associez $- 480$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 480}{x^{2}}$

Étape 5.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 x - \frac{480}{x^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - \frac{480}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{480}{x^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$

Étape 6.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1$

Étape 6.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 6.3

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 1} - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{3} - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{480}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$2 x^{3} + \frac{- 480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{3} + \frac{- 480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{3} - 480 = 0 x^{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 480 = 0$

Étape 6.4

Résolvez l’équation.

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Étape 6.4.1

Ajoutez $480$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} = 480$

Étape 6.4.2

Soustrayez $480$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 480 = 0$

Étape 6.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 480$ .

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Étape 6.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 480 = 0$

Étape 6.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 480$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 240 = 0$

Étape 6.4.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 \cdot - 240$ .

$2 (x^{3} - 240) = 0$

Étape 6.4.4

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} - 240) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.4.4.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} - 240) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 240)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{3} - 240)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.4.4.2.1.2

Divisez $x^{3} - 240$ par $1$ .

$x^{3} - 240 = \frac{0}{2}$

Étape 6.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{3} - 240 = 0$

Étape 6.4.5

Ajoutez $240$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 240$

Étape 6.4.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{240}$

Étape 6.4.7

Simplifiez $\sqrt[3]{240}$ .

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Étape 6.4.7.1

Réécrivez $240$ comme $2^{3} \cdot 30$ .

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Étape 6.4.7.1.1

Factorisez $8$ à partir de $240$ .

$x = \sqrt[3]{8 (30)}$

Étape 6.4.7.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 30}$

Étape 6.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = 2 \sqrt[3]{30}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{480}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 7.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 2 \sqrt[3]{30}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2 \sqrt[3]{30}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{960}{{(2 \sqrt[3]{30})}^{3}} + 2$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[3]{30}$ .

$\frac{960}{2^{3} {\sqrt[3]{30}}^{3}} + 2$

Étape 10.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{960}{8 {\sqrt[3]{30}}^{3}} + 2$

Étape 10.1.1.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{30}}^{3}$ comme $30$ .

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Étape 10.1.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{30}$ comme $30^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{960}{8 {(30^{\frac{1}{3}})}^{3}} + 2$

Étape 10.1.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{960}{8 \cdot 30^{\frac{1}{3} \cdot 3}} + 2$

Étape 10.1.1.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{960}{8 \cdot 30^{\frac{3}{3}}} + 2$

Étape 10.1.1.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.1.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{960}{8 \cdot 30^{\frac{3}{3}}} + 2$

Étape 10.1.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{960}{8 \cdot 30^{1}} + 2$

Étape 10.1.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{960}{8 \cdot 30} + 2$

Étape 10.1.2

Multipliez $8$ par $30$ .

$\frac{960}{240} + 2$

Étape 10.1.3

Divisez $960$ par $240$ .

$4 + 2$

Étape 10.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$6$

Étape 11

$x = 2 \sqrt[3]{30}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2 \sqrt[3]{30}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 2 \sqrt[3]{30}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $2 \sqrt[3]{30}$ dans l’expression.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = {(2 \sqrt[3]{30})}^{2} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[3]{30}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 2^{2} {\sqrt[3]{30}}^{2} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Étape 12.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 {\sqrt[3]{30}}^{2} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Étape 12.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{30}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{30^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{30^{2}} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Étape 12.2.1.4

Élevez $30$ à la puissance $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Étape 12.2.1.5

Annulez le facteur commun à $480$ et $2$ .

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Étape 12.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $480$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{2 \cdot 240}{2 \sqrt[3]{30}}$

Étape 12.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{30}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{2 \cdot 240}{2 (\sqrt[3]{30})}$

Étape 12.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{2 \cdot 240}{2 \sqrt[3]{30}}$

Étape 12.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240}{\sqrt[3]{30}}$

Étape 12.2.1.6

Multipliez $\frac{240}{\sqrt[3]{30}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240}{\sqrt[3]{30}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{2}}$

Étape 12.2.1.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1.7.1

Multipliez $\frac{240}{\sqrt[3]{30}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{\sqrt[3]{30} {\sqrt[3]{30}}^{2}}$

Étape 12.2.1.7.2

Élevez $\sqrt[3]{30}$ à la puissance $1$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{\sqrt[3]{30} {\sqrt[3]{30}}^{2}}$

Étape 12.2.1.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{1 + 2}}$

Étape 12.2.1.7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{3}}$

Étape 12.2.1.7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{30}}^{3}$ comme $30$ .

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Étape 12.2.1.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{30}$ comme $30^{\frac{1}{3}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{{(30^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 12.2.1.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 12.2.1.7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30^{\frac{3}{3}}}$

Étape 12.2.1.7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.1.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30^{\frac{3}{3}}}$

Étape 12.2.1.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30}$

Étape 12.2.1.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30}$

Étape 12.2.1.8

Annulez le facteur commun à $240$ et $30$ .

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Étape 12.2.1.8.1

Factorisez $30$ à partir de $240 {\sqrt[3]{30}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{30 (8 {\sqrt[3]{30}}^{2})}{30}$

Étape 12.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.1.8.2.1

Factorisez $30$ à partir de $30$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{30 (8 {\sqrt[3]{30}}^{2})}{30 (1)}$

Étape 12.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{30 (8 {\sqrt[3]{30}}^{2})}{30 \cdot 1}$

Étape 12.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{8 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{1}$

Étape 12.2.1.8.2.4

Divisez $8 {\sqrt[3]{30}}^{2}$ par $1$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + 8 {\sqrt[3]{30}}^{2}$

Étape 12.2.1.9

Réécrivez ${\sqrt[3]{30}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{30^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + 8 \sqrt[3]{30^{2}}$

Étape 12.2.1.10

Élevez $30$ à la puissance $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + 8 \sqrt[3]{900}$

Étape 12.2.2

Additionnez $4 \sqrt[3]{900}$ et $8 \sqrt[3]{900}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 12 \sqrt[3]{900}$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $12 \sqrt[3]{900}$ .

$y = 12 \sqrt[3]{900}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} + \frac{480}{x}$ .

$(2 \sqrt[3]{30}, 12 \sqrt[3]{900})$ est un minimum local

Étape 14