Calcul infinitésimal Exemples

$27 x^{3} - 9 x + 1$

Étape 1

Écrivez $27 x^{3} - 9 x + 1$ comme une fonction.

$f (x) = 27 x^{3} - 9 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $27 x^{3} - 9 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [27 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [27 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [27 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27 x^{3}$ par rapport à $x$ est $27 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$27 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $27$ .

$81 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$81 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$81 x^{2} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$81 x^{2} - 9 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$81 x^{2} - 9 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $81 x^{2} - 9$ et $0$ .

$81 x^{2} - 9$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $81 x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [81 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $81 x^{2}$ par rapport à $x$ est $81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 81 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 81 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $81$ .

$f'' (x) = 162 x + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 162 x + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $162 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 162 x$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$81 x^{2} - 9 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $27 x^{3} - 9 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [27 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [27 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [27 x^{3}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27 x^{3}$ par rapport à $x$ est $27 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$27 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $3$ par $27$ .

$81 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$81 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$81 x^{2} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$81 x^{2} - 9 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$81 x^{2} - 9 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $81 x^{2} - 9$ et $0$ .

$f' (x) = 81 x^{2} - 9$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $81 x^{2} - 9$ .

$81 x^{2} - 9$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $81 x^{2} - 9 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$81 x^{2} - 9 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$81 x^{2} = 9$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $81 x^{2} = 9$ par $81$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $81 x^{2} = 9$ par $81$ .

$\frac{81 x^{2}}{81} = \frac{9}{81}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $81$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 x^{2}}{81} = \frac{9}{81}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{81}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Annulez le facteur commun à $9$ et $81$ .

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Étape 6.3.3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$x^{2} = \frac{9 (1)}{81}$

Étape 6.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.3.1.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$x^{2} = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}$

Étape 6.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}$

Étape 6.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Étape 6.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Étape 6.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Étape 6.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Étape 6.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Étape 6.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 6.5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Étape 6.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 6.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 6.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$162 (\frac{1}{3})$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.1

Factorisez $3$ à partir de $162$ .

$3 (54) \frac{1}{3}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 54 \frac{1}{3}$

Étape 10.3

Réécrivez l’expression.

$54$

Étape 11

$x = \frac{1}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{3}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{3}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = 27 {(\frac{1}{3})}^{3} - 9 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 27 (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 9 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 12.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{3}) = 27 (\frac{1}{3^{3}}) - 9 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 12.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = 27 (\frac{1}{27}) - 9 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 12.2.1.4

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{3}) = 27 (\frac{1}{27}) - 9 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 12.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = 1 - 9 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 12.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$f (\frac{1}{3}) = 1 + 3 (- 3) (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 12.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{3}) = 1 + 3 \cdot (- 3 (\frac{1}{3})) + 1$

Étape 12.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = 1 - 3 + 1$

Étape 12.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 12.2.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = - 2 + 1$

Étape 12.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = - 1$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{1}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$162 (- \frac{1}{3})$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$162 (\frac{- 1}{3})$

Étape 14.1.2

Factorisez $3$ à partir de $162$ .

$3 (54) \frac{- 1}{3}$

Étape 14.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 54 \frac{- 1}{3}$

Étape 14.1.4

Réécrivez l’expression.

$54 \cdot - 1$

Étape 14.2

Multipliez $54$ par $- 1$ .

$- 54$

Étape 15

$x = - \frac{1}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{1}{3}$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{1}{3}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{3}) = 27 {(- \frac{1}{3})}^{3} - 9 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 16.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 27 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - 9 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 16.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 27 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{3^{3}})) - 9 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 16.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 27 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - 9 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 16.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{3}) = 27 (- \frac{1}{3^{3}}) - 9 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 16.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 27 (- \frac{1}{27}) - 9 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 16.2.1.5

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 16.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{27}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{1}{3}) = 27 (\frac{- 1}{27}) - 9 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 16.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = 27 (\frac{- 1}{27}) - 9 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 16.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{3}) = - 1 - 9 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 16.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 16.2.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{1}{3}) = - 1 - 9 (\frac{- 1}{3}) + 1$

Étape 16.2.1.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - 1 + 3 (- 3) (\frac{- 1}{3}) + 1$

Étape 16.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = - 1 + 3 \cdot (- 3 (\frac{- 1}{3})) + 1$

Étape 16.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{3}) = - 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

Étape 16.2.1.7

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - 1 + 3 + 1$

Étape 16.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 16.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 2 + 1$

Étape 16.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 27 x^{3} - 9 x + 1$ .

$(\frac{1}{3}, - 1)$ est un minimum local

$(- \frac{1}{3}, 3)$ est un maximum local

Étape 18