Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + 64}{x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{2} + 64}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 64$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 64$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2.3

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Étape 2.9

Simplifiez

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Étape 2.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Étape 2.9.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Étape 2.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.3.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.9.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 8$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 8$ et $g (x) = x - 8$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) \frac{d}{d x} (x - 8) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.4.2

Multipliez $x + 8$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8))) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (8))) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.7

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + 0)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.4.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \cdot 1) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.8.2

Multipliez $x - 8$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + x - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 8 - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.8.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 3.4.8.4.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.8.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 8) (x - 8) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.9.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 16) (x - 8) x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.2

Développez $(- 2 x - 16) (x - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.9.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 8) - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.9.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.9.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.2.1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.3.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.3.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x + 128) x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.3.2

Soustrayez $16 x$ de $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 128) x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.3.3

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 128) x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 128 x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.9.2.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 128 x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 128 x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 128 x}{x^{4}}$

Étape 3.9.2.3

Additionnez $0$ et $128 x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x}{x^{4}}$

Étape 3.9.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 3.9.3.1

Factorisez $x$ à partir de $128 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x^{4}}$

Étape 3.9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{128}{x^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 64$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 5.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Étape 5.1.9

Simplifiez

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Étape 5.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Étape 5.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Étape 5.1.9.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Étape 5.1.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.9.3.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Étape 5.1.9.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 8$ .

$f' (x) = \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x + 8) (x - 8) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 8 = 0$

$x - 8 = 0$

Étape 6.3.2

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 6.3.2.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 6.3.3

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 6.3.3.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 6.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 8) (x - 8) = 0$ vraie.

$x = - 8, 8$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 7.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - 8, 8$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 8$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{128}{{(- 8)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Élevez $- 8$ à la puissance $3$ .

$\frac{128}{- 512}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $128$ et $- 512$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $128$ à partir de $128$ .

$\frac{128 (1)}{- 512}$

Étape 10.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.1

Factorisez $128$ à partir de $- 512$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot - 4}$

Étape 10.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot - 4}$

Étape 10.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 4}$

Étape 10.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 11

$x = - 8$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 8$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - 8$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f (- 8) = \frac{{(- 8)}^{2} + 64}{- 8}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$f (- 8) = \frac{64 + 64}{- 8}$

Étape 12.2.1.2

Additionnez $64$ et $64$ .

$f (- 8) = \frac{128}{- 8}$

Étape 12.2.2

Divisez $128$ par $- 8$ .

$f (- 8) = - 16$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- 16$ .

$y = - 16$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 8$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{128}{{(8)}^{3}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{128}{512}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun à $128$ et $512$ .

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Étape 14.2.1

Factorisez $128$ à partir de $128$ .

$\frac{128 (1)}{512}$

Étape 14.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.2.1

Factorisez $128$ à partir de $512$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Étape 14.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Étape 14.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 15

$x = 8$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 8$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 8$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f (8) = \frac{{(8)}^{2} + 64}{8}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (8) = \frac{64 + 64}{8}$

Étape 16.2.1.2

Additionnez $64$ et $64$ .

$f (8) = \frac{128}{8}$

Étape 16.2.2

Divisez $128$ par $8$ .

$f (8) = 16$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $16$ .

$y = 16$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$ .

$(- 8, - 16)$ est un maximum local

$(8, 16)$ est un minimum local

Étape 18