Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} - 2 x$

Étape 1

Écrivez $e^{x} - 2 x$ comme une fonction.

$f (x) = e^{x} - 2 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} - 2 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$e^{x} - 2$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = e^{x} + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$f'' (x) = e^{x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$e^{x} - 2 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} - 2 \cdot 1$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 2$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $e^{x} - 2$ .

$e^{x} - 2$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $e^{x} - 2 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{x} = 2$

Étape 6.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Étape 6.4

Développez le côté gauche.

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Étape 6.4.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Étape 6.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Étape 6.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (2)$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \ln (2)$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \ln (2)$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$e^{\ln (2)}$

Étape 10

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$2$

Étape 11

$x = \ln (2)$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \ln (2)$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \ln (2)$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\ln (2)$ dans l’expression.

$f (\ln (2)) = e^{\ln (2)} - 2 \ln (2)$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (2)) = 2 - 2 \ln (2)$

Étape 12.2.1.2

Simplifiez $- 2 \ln (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (\ln (2)) = 2 - \ln (2^{2})$

Étape 12.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\ln (2)) = 2 - \ln (4)$

Étape 12.2.2

La réponse finale est $2 - \ln (4)$ .

$y = 2 - \ln (4)$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = e^{x} - 2 x$ .

$(\ln (2), 2 - \ln (4))$ est un minimum local

Étape 14