Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , $[1, 4]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ est continu.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[1, 4]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{x + 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 2 = 0$

Étape 2.1.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 2}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[1, 4]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$\frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2.6.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(1, 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $(1, 4)$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 4.1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 2}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(1, 4)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(1, 4)$ car la dérivée est continue sur $(1, 4)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[1, 4]$ et différentiable sur $(1, 4)$ .

$f (x)$ est continu sur $[1, 4]$ et différentiable sur $(1, 4)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[1, 4]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{1}{(1) + 2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (1) = \frac{1}{3}$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[1, 4]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \frac{4}{(4) + 2}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $(4) + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{4 + 2}$

Étape 8.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (2) + 2}$

Étape 8.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 \cdot 1$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Étape 8.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Étape 8.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (4) = \frac{2}{2 + 1}$

Étape 8.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (4) = \frac{2}{3}$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 9

Résolvez $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (1))}{- (4 + 1)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Factorisez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Étape 9.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 1}{3}}{(4) - (1)}$

Étape 9.1.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{4 - 1}$

Étape 9.1.5

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{3}$

Étape 9.1.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 9.1.7

Multipliez $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.7.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

Étape 9.1.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$

Étape 9.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

${(x + 2)}^{2}, 9$

Étape 9.2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 9.2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 9.2.4

$9$ a des facteurs de $3$ et $3$ .

$3 \cdot 3$

Étape 9.2.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$9$

Étape 9.2.6

Les facteurs pour $x + 2$ sont $(x + 2) \cdot (x + 2)$ , qui correspond à $x + 2$ multiplié par lui-même $2$ fois.

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

$(x + 2)$ se produit $2$ fois.

Étape 9.2.7

Le plus petit multiple commun de ${(x + 2)}^{2}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

${(x + 2)}^{2}$

Étape 9.2.8

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$9 {(x + 2)}^{2}$

Étape 9.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ par $9 {(x + 2)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ par $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} (9 {(x + 2)}^{2}) = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Étape 9.3.2.2

Multipliez $9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.2.1

Associez $9$ et $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Étape 9.3.2.2.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Étape 9.3.2.3

Annulez le facteur commun de ${(x + 2)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Étape 9.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$18 = \frac{1}{9} (9 ({(x + 2)}^{2}))$

Étape 9.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Étape 9.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$18 = {(x + 2)}^{2}$

Étape 9.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Réécrivez l’équation comme ${(x + 2)}^{2} = 18$ .

${(x + 2)}^{2} = 18$

Étape 9.4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x + 2 = \pm \sqrt{18}$

Étape 9.4.3

Simplifiez $\pm \sqrt{18}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.3.1

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{9 (2)}$

Étape 9.4.3.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Étape 9.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x + 2 = \pm 3 \sqrt{2}$

Étape 9.4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x + 2 = 3 \sqrt{2}$

Étape 9.4.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = 3 \sqrt{2} - 2$

Étape 9.4.4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x + 2 = - 3 \sqrt{2}$

Étape 9.4.4.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$

Étape 9.4.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 \sqrt{2} - 2, - 3 \sqrt{2} - 2$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur $x = 3 \sqrt{2} - 2$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 4$ .

Il y a une droite tangente sur $x = 3 \sqrt{2} - 2$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 4$

Étape 11

Il y a une droite tangente sur $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 4$ .

Il y a une droite tangente sur $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 4$

Étape 12