Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 1.3.5

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 (- \sin (x))$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 \sin (x)$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Soustrayez $2 x \cos (x)$ de $\cos (x) (2 x)$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + 2 x \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

Étape 1.5.2.1.2

Soustrayez $2 x \cos (x)$ de $2 x \cos (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + 0 - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $x^{2} (- \sin (x))$ et $0$ .

$x^{2} (- \sin (x)) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

Étape 1.5.2.3

Additionnez $- 2 \sin (x)$ et $2 \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + 0$

Étape 1.5.2.4

Additionnez $x^{2} (- \sin (x))$ et $0$ .

$x^{2} (- \sin (x))$

Étape 1.5.3

Réorganisez les facteurs de $x^{2} (- \sin (x))$ .

$f' (x) = - x^{2} \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x))$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)$