Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 x \sin (x^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x \sin (x^{2})$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$8 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$8 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 (x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 (x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x^{2})$ .

$8 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Étape 1.10

Multipliez $\sin (x^{2})$ par $1$ .

$8 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Étape 1.11

Simplifiez

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Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) + 8 \sin (x^{2})$

Étape 1.11.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$f' (x) = 16 x^{2} \cos (x^{2}) + 8 \sin (x^{2})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{2} \cos (x^{2}) + 8 \sin (x^{2})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{2} \cos (x^{2})]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{2} \cos (x^{2})$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{2})]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$16 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$16 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Étape 2.2.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$16 (x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$16 (x^{2} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$16 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$16 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$16 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Étape 2.2.7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.7.1

Déplacez $x$ .

$16 (x \cdot x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$16 (x^{1} x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Étape 2.2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 (x^{1 + 2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Étape 2.2.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \sin (x^{2})$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\cos (x^{2}) (2 x))$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2}))) + 16 (\cos (x^{2}) (2 x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$- 32 (x^{3} (\sin (x^{2}))) + 16 (\cos (x^{2}) (2 x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$- 32 x^{3} \sin (x^{2}) + 32 (\cos (x^{2}) (x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $32 \cos (x^{2}) x$ et $16 \cos (x^{2}) x$ .

$- 32 x^{3} \sin (x^{2}) + 48 \cos (x^{2}) x$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 32 x^{3} \sin (x^{2}) + 48 x \cos (x^{2})$