Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cot (x) + 3 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cot (x) + 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \csc^{2} (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \csc^{2} (x) + 3 (2 x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \csc^{2} (x) + 6 x$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 6 x - \csc^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - \csc^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Étape 2.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \csc^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$6 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 - (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$6 - (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 - (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 - (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Étape 2.3.5

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$6 - (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x))$

Étape 2.3.6

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$6 - (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x))$

Étape 2.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 - (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x))$

Étape 2.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 - (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x))$

Étape 2.3.9

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$6 + 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x) + 6$