Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{7^{n}}{4^{n + 3}}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{\frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}}}{\frac{7^{n}}{4^{n + 3}}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r = \frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}} \cdot \frac{4^{n + 3}}{7^{n}}$

Étape 2.2.2

Associez.

$r = \frac{7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun à $7^{n + 1}$ et $7^{n}$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $7^{n}$ à partir de $7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Étape 2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.1

Factorisez $7^{n}$ à partir de $4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Étape 2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun à $4^{n + 3}$ et $4^{n + 1 + 3}$ .

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $4^{n + 1 + 3}$ à partir de $7 \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3}}$

Étape 2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Étape 2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}}{1}$

Étape 2.2.4.2.4

Divisez $7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$ par $1$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$

Étape 2.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.1

Additionnez $1$ et $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 4)}$

Étape 2.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 1 \cdot 4}$

Étape 2.2.5.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 4}$

Étape 2.2.6

Associez les termes opposés dans $n + 3 - n - 4$ .

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Étape 2.2.6.1

Soustrayez $n$ de $n$ .

$r = 7 \cdot 4^{0 + 3 - 4}$

Étape 2.2.6.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{3 - 4}$

Étape 2.2.7

Soustrayez $4$ de $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{- 1}$

Étape 2.2.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 7 \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.2.9

Associez $7$ et $\frac{1}{4}$ .

$r = \frac{7}{4}$

Étape 3

Check if the series is convergent or divergent.

Since $| r | \geq 1$ , the series diverges.