Calcul infinitésimal Exemples

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Étape 1.1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 1.1.2.6.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$0 - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.6.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.10.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.12

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.13

Associez $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.14

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $x^{- \frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.14.1

Déplacez $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$0 - - \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.14.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - - \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.14.4

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$0 - - \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.14.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.15

Placez $x^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - - \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.16

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.17

Multipliez $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ par $1$ .

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.18

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ par $0$ .

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 1.1.2.19

Additionnez $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ et $0$ .

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.1.3

Additionnez $0$ et $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{5}}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{5}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x^{5}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x^{5}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{5}}$ comme $x^{\frac{5}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{5}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{5}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{5}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{5}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{5}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 x^{5} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x^{5} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 x^{5} = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $27 x^{5} = 0$ par $27$ .

$\frac{27 x^{5}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 3.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x^{5}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.1.2.1.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

$x^{5} = 0$

Étape 3.3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[5]{0}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez $\sqrt[5]{0}$ .

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Étape 3.3.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 3.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$1 - \frac{1}{{(0)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$1 - \frac{1}{{(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - \frac{1}{0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$1 - \frac{1}{0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 4.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 - \frac{1}{0^{2}}$

Étape 4.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1 - \frac{1}{0}$

Étape 4.1.2.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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