Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.3.3

Multipliez ${(x^{2} - 9)}^{2}$ par $1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Étape 1.1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2

Factorisez $x^{2} - 9$ à partir de ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

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Étape 1.1.5.2.1

Factorisez $x^{2} - 9$ à partir de ${(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.2

Factorisez $x^{2} - 9$ à partir de $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.3

Factorisez $x^{2} - 9$ à partir de $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.6.1

Factorisez $x^{2} - 9$ à partir de ${(x^{2} - 9)}^{4}$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.9

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 18 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.16

Associez $- 18$ et $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.18

Simplifiez

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Étape 1.1.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{18 (- 3 x^{2}) + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.18.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.18.2.1

Multipliez $- 3$ par $18$ .

$- \frac{- 54 x^{2} + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.1.18.2.2

Multipliez $18$ par $- 9$ .

$f' (x) = - \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 54 x^{2} - 162 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Ajoutez $162$ aux deux côtés de l’équation.

$- 54 x^{2} = 162$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $- 54 x^{2} = 162$ par $- 54$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 54 x^{2} = 162$ par $- 54$ .

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 54$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{162}{- 54}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Divisez $162$ par $- 54$ .

$x^{2} = - 3$

Étape 2.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 2.3.4.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{3}$

Étape 2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{2} - 9)}^{3} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

${(x^{2} - 3^{2})}^{3} = 0$

Étape 3.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{3} = 0$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 3) (x - 3)$ .

${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$

Étape 3.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

${(x - 3)}^{3} = 0$

Étape 3.2.3

Définissez ${(x + 3)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.3.1

Définissez ${(x + 3)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Étape 3.2.3.2

Résolvez ${(x + 3)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.2.3.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.2.4

Définissez ${(x - 3)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.4.1

Définissez ${(x - 3)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x - 3)}^{3} = 0$

Étape 3.2.4.2

Résolvez ${(x - 3)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.4.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.2.4.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$ vraie.

$x = - 3, 3$

Étape 3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Étape 4

Évaluez $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0^{2}}$

Étape 4.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0}$

Étape 4.1.2.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$- \frac{18 (3)}{{({(3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{18 (3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$- \frac{18 (3)}{0^{2}}$

Étape 4.2.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{18 (3)}{0}$

Étape 4.2.2.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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