Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x - 4 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x - 4$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x - 4$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x - 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x - 4$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x - 4 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x - 4 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x - 4$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} + 12 x - 4 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 12 x - 4 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $12 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 (3 x) - 4 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 (3 x) + 4 (- 1) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 (3 x) + 4 (- 1) = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 (3 x)$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 4 (- 1) = 0$

Étape 2.2.1.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 4 (- 1)$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1$

Étape 2.2.2.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.2.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 2.2.2.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 2.2.2.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 2.2.2.3.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 2.2.2.3.5

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 2.2.2.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Étape 2.2.2.3.7

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$1 - 1$

Étape 2.2.2.3.8

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 2.2.2.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Étape 2.2.2.5

Divisez $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ par $x - 1$ .

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Étape 2.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 2.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Étape 2.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 2.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 2.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 2.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 2.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 2.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Étape 2.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Étape 2.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Étape 2.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Étape 2.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Étape 2.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Étape 2.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x + 1$

Étape 2.2.2.6

Écrivez $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1)) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2})) = 0$

Étape 2.2.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 2.2.3.3

Réécrivez le polynôme.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Étape 2.2.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$4 ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Étape 2.2.4

Associez les facteurs similaires.

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Étape 2.2.4.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$4 ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Étape 2.2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 {(x - 1)}^{1 + 2} = 0$

Étape 2.2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 {(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $4 {(x - 1)}^{3} = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 {(x - 1)}^{3} = 0$ par $4$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 {(x - 1)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez ${(x - 1)}^{3}$ par $1$ .

${(x - 1)}^{3} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 2.4

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 3$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 4 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Étape 4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 4 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$1 - 4 + 6 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Étape 4.1.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 4 + 6 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 3$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$1 - 4 + 6 - 4 \cdot 1 + 3$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$1 - 4 + 6 - 4 + 3$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 3 + 6 - 4 + 3$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $- 3$ et $6$ .

$3 - 4 + 3$

Étape 4.1.2.2.3

Soustrayez $4$ de $3$ .

$- 1 + 3$

Étape 4.1.2.2.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$2$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(1, 2)$

Étape 5